Seja o conjunto X=\left\{x \in \mathbb{R} ;\left|x^{2}+x+1\right| \leq\left|x^{2}+2 x-3\right|\right\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?
As perguntas são:
(a) X é limitado superiormente? Existe \sup X? Existe máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Existe \inf X? Existe mínimo?
(c) X é limitado?
Informações relevantes: a desigualdade envolve valores absolutos de polinômios quadráticos em x. Vou trabalhar a desigualdade para achar explicitamente quais x pertencem a X.
Passo 2
Transformação da desigualdade com valores absolutos. Para quaisquer números reais A e B vale que |A|\le|B| se, e só se, A^{2}\le B^{2} (porque a função t\mapsto t^{2} é monótona crescente em [0,\infty) e |A|,|B|\ge0). Aplicando isso com
A=x^{2}+x+1,\qquad B=x^{2}+2x-3,
temos que a condição é equivalente a
(x^{2}+x+1)^{2}\le (x^{2}+2x-3)^{2}.
Passo 3
Subtrair o lado direito para obter uma única expressão:
(x^{2}+x+1)^{2}-(x^{2}+2x-3)^{2}\le 0.
Usando a diferença de quadrados u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v), com u=x^{2}+x+1 e v=x^{2}+2x-3, obtemos
Substituindo na desigualdade e dividindo por 2>0 (não muda o sinal):
(4-x)(x+2)\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big)\le0.
Passo 5
Analisar o sinal do produto (4-x)(x+2)(x-\tfrac{1}{2}). As raízes (pontos onde o produto é zero) são
x=-2,\quad x=\tfrac{1}{2},\quad x=4.
Fazemos um estudo de sinais por intervalos determinados por essas raízes.
Para x<-2 (por exemplo x=-3):
4-x>0,\quad x+2<0,\quad x-\tfrac{1}{2}<0
produto: +\cdot-\cdot-=+. Logo >0, não satisfaz.
Para -2<x<\tfrac{1}{2} (por exemplo x=0):
4-x>0,\quad x+2>0,\quad x-\tfrac{1}{2}<0
produto: +\cdot+\cdot-=-. Logo \le0, satisfaz.
Para \tfrac{1}{2}<x<4 (por exemplo x=1):
4-x>0,\quad x+2>0,\quad x-\tfrac{1}{2}>0
produto: +\cdot+\cdot+=+. Não satisfaz.
Para x>4 (por exemplo x=5):
4-x<0,\quad x+2>0,\quad x-\tfrac{1}{2}>0
produto: -\cdot+\cdot+=-. Satisfaz.
Além disso, nos pontos x=-2,\tfrac{1}{2},4 o produto é zero, portanto a desigualdade com \le0 é satisfeita nesses pontos.
Portanto o conjunto solução é
X=[-2,\tfrac{1}{2}]\cup[4,\infty).
Passo 6
Agora respondemos (a) sobre limite superior, sup e máximo.
Um conjunto é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in X. Como X contém [4,\infty), para qualquer M real existe x\in X com x>M. Logo X não é limitado superiormente.
Consequência: não existe \sup X finito em \mathbb{R}. (Se admitisse-se o sup estendido, \sup X=+\infty, mas em \mathbb{R} diz-se que não há sup real.)
Máximo: um máximo seria um maior elemento x_{\max}\in X tal que x\le x_{\max} para todo x\in X. Como X é ilimitado acima, não existe tal maior elemento. Portanto X não tem máximo.
Passo 7
Responder (b) sobre limite inferior, inf e mínimo.
X contém o intervalo [-2,\tfrac{1}{2}], logo não há elementos menores do que -2 em X. Assim X é limitado inferiormente.
O ínfimo \inf X é o menor limite inferior; aqui claramente \inf X=-2.
Como -2\in X, esse ínfimo é atingido: -2 é o mínimo de X. Logo \min X=-2.
Passo 8
Responder (c) sobre ser limitado.
Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente. Já vimos que X não é limitado superiormente (mas é limitado inferiormente). Logo X não é limitado.
Resposta
(a) X não é limitado superiormente; não existe \sup X finito; não tem máximo.
(b) X é limitado inferiormente; \inf X=-2; \min X=-2.
(c) X não é limitado.