Seja o conjunto X=\left\{x \in \mathbb{R} ;\left|x^{2}+x+1\right| \leq\left|x^{2}+2 x-3\right|\right\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{x\in\mathbb{R}\mid |x^{2}+x+1|\le |x^{2}+2x-3|\}.
As perguntas são:
(a) X é limitado superiormente? Existe \sup X? Existe máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Existe \inf X? Existe mínimo?
(c) X é limitado?
Informações relevantes: a desigualdade envolve valores absolutos de polinômios quadráticos em x. Vou trabalhar a desigualdade para achar explicitamente quais x pertencem a X.

Passo 2

Transformação da desigualdade com valores absolutos. Para quaisquer números reais A e B vale que |A|\le|B| se, e só se, A^{2}\le B^{2} (porque a função t\mapsto t^{2} é monótona crescente em [0,\infty) e |A|,|B|\ge0). Aplicando isso com
A=x^{2}+x+1,\qquad B=x^{2}+2x-3,
temos que a condição é equivalente a
(x^{2}+x+1)^{2}\le (x^{2}+2x-3)^{2}.

Passo 3

Subtrair o lado direito para obter uma única expressão:
(x^{2}+x+1)^{2}-(x^{2}+2x-3)^{2}\le 0.
Usando a diferença de quadrados u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v), com u=x^{2}+x+1 e v=x^{2}+2x-3, obtemos
\big((x^{2}+x+1)-(x^{2}+2x-3)\big)\big((x^{2}+x+1)+(x^{2}+2x-3)\big)\le0.
Calcule cada fator:
(x^{2}+x+1)-(x^{2}+2x-3)= -x+4 = 4-x,
(x^{2}+x+1)+(x^{2}+2x-3)=2x^{2}+3x-2.
Portanto a desigualdade fica
(4-x)(2x^{2}+3x-2)\le0.

Passo 4

Factorizar o quadrático 2x^{2}+3x-2. O discriminante é \Delta=3^{2}-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25, então as raízes são
x=\frac{-3\pm5}{4}\Rightarrow x=-2\quad\text{e}\quad x=\tfrac{1}{2}.
Logo
2x^{2}+3x-2=2(x+2)\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big).
Substituindo na desigualdade e dividindo por 2>0 (não muda o sinal):
(4-x)(x+2)\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big)\le0.

Passo 5

Analisar o sinal do produto (4-x)(x+2)(x-\tfrac{1}{2}). As raízes (pontos onde o produto é zero) são
x=-2,\quad x=\tfrac{1}{2},\quad x=4.
Fazemos um estudo de sinais por intervalos determinados por essas raízes.
  • Para x<-2 (por exemplo x=-3):
    4-x>0,\quad x+2<0,\quad x-\tfrac{1}{2}<0
    produto: +\cdot-\cdot-=+. Logo >0, não satisfaz.
  • Para -2<x<\tfrac{1}{2} (por exemplo x=0):
    4-x>0,\quad x+2>0,\quad x-\tfrac{1}{2}<0
    produto: +\cdot+\cdot-=-. Logo \le0, satisfaz.
  • Para \tfrac{1}{2}<x<4 (por exemplo x=1):
    4-x>0,\quad x+2>0,\quad x-\tfrac{1}{2}>0
    produto: +\cdot+\cdot+=+. Não satisfaz.
  • Para x>4 (por exemplo x=5):
    4-x<0,\quad x+2>0,\quad x-\tfrac{1}{2}>0
    produto: -\cdot+\cdot+=-. Satisfaz.
Além disso, nos pontos x=-2,\tfrac{1}{2},4 o produto é zero, portanto a desigualdade com \le0 é satisfeita nesses pontos.
Portanto o conjunto solução é
X=[-2,\tfrac{1}{2}]\cup[4,\infty).

Passo 6

Agora respondemos (a) sobre limite superior, sup e máximo.
  • Um conjunto é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in X. Como X contém [4,\infty), para qualquer M real existe x\in X com x>M. Logo X não é limitado superiormente.
  • Consequência: não existe \sup X finito em \mathbb{R}. (Se admitisse-se o sup estendido, \sup X=+\infty, mas em \mathbb{R} diz-se que não há sup real.)
  • Máximo: um máximo seria um maior elemento x_{\max}\in X tal que x\le x_{\max} para todo x\in X. Como X é ilimitado acima, não existe tal maior elemento. Portanto X não tem máximo.

Passo 7

Responder (b) sobre limite inferior, inf e mínimo.
  • X contém o intervalo [-2,\tfrac{1}{2}], logo não há elementos menores do que -2 em X. Assim X é limitado inferiormente.
  • O ínfimo \inf X é o menor limite inferior; aqui claramente \inf X=-2.
  • Como -2\in X, esse ínfimo é atingido: -2 é o mínimo de X. Logo \min X=-2.

Passo 8

Responder (c) sobre ser limitado.
  • Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente. Já vimos que X não é limitado superiormente (mas é limitado inferiormente). Logo X não é limitado.

Resposta

(a) X não é limitado superiormente; não existe \sup X finito; não tem máximo.
(b) X é limitado inferiormente; \inf X=-2; \min X=-2.
(c) X não é limitado.

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