Seja o conjunto
. Verifique se:
(a)
é limitado superiormente? Tem
? Tem máximo?
(b)
é limitado inferiormente? Tem inf
? Tem mínimo?
(c)
é limitado?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
As perguntas são:
(a) é limitado superiormente? Tem
? Tem máximo?
(b) é limitado inferiormente? Tem
? Tem mínimo?
(c) é limitado?
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes fornecidas:
- A condição é a desigualdade
. - Procurar as raízes dos fatores e analisar o sinal do produto para determinar
.
Passo 2
Encontrar as raízes do fator quadrático
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes do quadrático são
e
.
Passo 3
O outro fator tem raiz em
. Assim os pontos críticos (zeros do produto) são
Numéricamente, para intuição,
e
. A ordem crescente é
Passo 4
Analisar o sinal em cada intervalo determinado pelos três pontos. Observações úteis:
- O quadrático
abre para cima (coeficiente de é ). Logo fora do intervalo entre as raízes e dentro desse intervalo. - O fator linear
é negativo para e positivo para .
Agora o produto
tem sinal:
- Para
: e ⇒ produto . - Para
: (entre raízes inclui extremos) e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto (negativo exceto nos zeros). - Para
: e ⇒ produto .
Como a desigualdade é
, incluímos os pontos onde o produto é zero (todas as raízes) e os intervalos onde o produto é positivo.
Passo 5
Concluir a forma de
. Pelas contas do passo anterior:
(As extremidades aparecem fechadas porque em cada uma o produto é zero.)
Passo 6
Definições rápidas e exemplo didático:
- Um conjunto
é limitado superiormente se existe tal que para todo . O menor desses possíveis (se existir finito) chama-se . Um máximo existe se há um elemento tal que para todo . - Exemplo rápido: para
temos que é limitado superiormente, , mas não há máximo porque .
Passo 7
Aplicando ao
(parte superior):
- Como
contém o intervalo , contém números arbitrariamente grandes. Logo não existe que limite superiormente todo . Portanto NÃO é limitado superiormente. - Consequência: não existe
como número real finito. Podemos dizer (ou então “não tem supremo finito”). Também não existe máximo, pois não há maior elemento (sempre há maior em para grande).
Passo 8
Definições rápidas e exemplo didático (inferior):
- Um conjunto
é limitado inferiormente se existe tal que para todo . O maior desses possíveis (se existir) chama-se . Um mínimo existe se há um elemento tal que para todo . - Exemplo: para
tem .
Passo 9
Aplicando ao
(parte inferior):
- O menor elemento de
é o extremo esquerdo do primeiro intervalo, que é , e esse ponto pertence a (produto zero). Portanto é limitado inferiormente. - Assim
e esse ínfimo é atingido, então .
Passo 10
Conclusão sobre ser limitado:
- Um conjunto é limitado (no sentido usual) quando é limitado superiormente e inferiormente ao mesmo tempo.
- Como
não é limitado superiormente (Passo 7) embora seja limitado inferiormente (Passo 9), concluímos que NÃO é um conjunto limitado.
Resposta
(a) Não;
(não existe supremo finito); não tem máximo.
(b) Sim; ; tem mínimo
.
(c) Não; não é limitado.
(b) Sim;
(c) Não;