Seja o conjunto X=\left\{x \in \mathbb{R} ;\left(x^{2}+6 x-6\right)(x+4) \geq 0\right\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{x\in\mathbb{R};\;(x^{2}+6x-6)(x+4)\geq 0\}.
As perguntas são:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem \inf X? Tem mínimo?
(c) X é limitado?
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição é a desigualdade (x^{2}+6x-6)(x+4)\geq0.
  • Procurar as raízes dos fatores e analisar o sinal do produto para determinar X.

Passo 2

Encontrar as raízes do fator quadrático \,x^{2}+6x-6=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1} =\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2} =\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2} =\frac{-6\pm 2\sqrt{15}}{2} =-3\pm\sqrt{15}.
Portanto as raízes do quadrático são \,x=-3-\sqrt{15} e \,x=-3+\sqrt{15}.

Passo 3

O outro fator tem raiz em x=-4. Assim os pontos críticos (zeros do produto) são
x_1=-3-\sqrt{15},\qquad x_2=-4,\qquad x_3=-3+\sqrt{15}.
Numéricamente, para intuição, -3-\sqrt{15}\approx-6{,}87298 e -3+\sqrt{15}\approx0{,}87298. A ordem crescente é
-3-\sqrt{15}<-4<-3+\sqrt{15}.

Passo 4

Analisar o sinal em cada intervalo determinado pelos três pontos. Observações úteis:
  • O quadrático q(x)=x^{2}+6x-6 abre para cima (coeficiente de x^2 é 1>0). Logo q(x)>0 fora do intervalo entre as raízes e q(x)<0 dentro desse intervalo.
  • O fator linear x+4 é negativo para x<-4 e positivo para x>-4.
Agora o produto (x^{2}+6x-6)(x+4) tem sinal:
  • Para x<-3-\sqrt{15}: q(x)>0 e x+4<0 ⇒ produto <0.
  • Para -3-\sqrt{15}\le x\le -4: q(x)\le0 (entre raízes inclui extremos) e x+4\le0 ⇒ produto \ge0.
  • Para -4\le x\le -3+\sqrt{15}: q(x)\le0 e x+4\ge0 ⇒ produto \le0 (negativo exceto nos zeros).
  • Para x\ge -3+\sqrt{15}: q(x)\ge0 e x+4\ge0 ⇒ produto \ge0.
Como a desigualdade é \ge0, incluímos os pontos onde o produto é zero (todas as raízes) e os intervalos onde o produto é positivo.

Passo 5

Concluir a forma de X. Pelas contas do passo anterior:
X=[-3-\sqrt{15},\,-4]\\ \cup\\ [-3+\sqrt{15},\,+\infty).
(As extremidades aparecem fechadas porque em cada uma o produto é zero.)

Passo 6

Definições rápidas e exemplo didático:
  • Um conjunto S\subset\mathbb{R} é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in S. O menor desses M possíveis (se existir finito) chama-se \sup S. Um máximo existe se há um elemento m\in S tal que m\ge x para todo x\in S.
  • Exemplo rápido: para S=(0,1) temos que é limitado superiormente, \sup S=1, mas não há máximo porque 1\notin S.

Passo 7

Aplicando ao X (parte superior):
  • Como X contém o intervalo [-3+\sqrt{15},+\infty), X contém números arbitrariamente grandes. Logo não existe M\in\mathbb{R} que limite superiormente todo X. Portanto X NÃO é limitado superiormente.
  • Consequência: não existe \sup X como número real finito. Podemos dizer \sup X=+\infty (ou então “não tem supremo finito”). Também não existe máximo, pois não há maior elemento (sempre há x+1 maior em X para x grande).

Passo 8

Definições rápidas e exemplo didático (inferior):
  • Um conjunto S é limitado inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que x\ge m para todo x\in S. O maior desses m possíveis (se existir) chama-se \inf S. Um mínimo existe se há um elemento t\in S tal que t\le x para todo x\in S.
  • Exemplo: para S=[0,1] tem \inf S=\min S=0.

Passo 9

Aplicando ao X (parte inferior):
  • O menor elemento de X é o extremo esquerdo do primeiro intervalo, que é -3-\sqrt{15}, e esse ponto pertence a X (produto zero). Portanto X é limitado inferiormente.
  • Assim \inf X=-3-\sqrt{15} e esse ínfimo é atingido, então \min X=-3-\sqrt{15}.

Passo 10

Conclusão sobre ser limitado:
  • Um conjunto é limitado (no sentido usual) quando é limitado superiormente e inferiormente ao mesmo tempo.
  • Como X não é limitado superiormente (Passo 7) embora seja limitado inferiormente (Passo 9), concluímos que X NÃO é um conjunto limitado.

Resposta

(a) Não; \sup X=+\infty (não existe supremo finito); não tem máximo.
(b) Sim; \inf X=-3-\sqrt{15}; tem mínimo \min X=-3-\sqrt{15}.
(c) Não; X não é limitado.

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