Seja o conjunto
S=\left\{n \in \omega, n \geq 1 ; 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2}\right\} \cup\{0\} .
É verdade que S=\omega ?

Passo 1

O enunciado define
S = \{\,n\in\omega,\;n\ge1;\;1 + 3 + 5 + \cdots + (2n -1) = n^2\}\;\cup\;\{0\}.
Queremos verificar se de fato S = \omega. O conteúdo central é o princípio de indução matemática aplicado à soma dos primeiros n números ímpares.

Passo 2

Verifique o caso base n = 1. A soma dos primeiros 1 número ímpar é
1 = 1^2,
logo 1\in S.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 valha
1 + 3 + 5 + \cdots + (2k -1) = k^2.
Vamos mostrar que então
1 + 3 + \cdots + (2k -1) + \bigl(2(k+1)-1\bigr) = (k+1)^2.

Passo 4

Pelo lado esquerdo acima,
k^2 + \bigl(2(k+1)-1\bigr) = k^2 + (2k+1) = k^2 + 2k +1 = (k+1)^2.
Isso mostra que k+1\in S. Assim, por indução, todo n\ge1 satisfaz a identidade.

Passo 5

Como 0\in S por definição e todo n\ge1 também está em S, conclui-se que
S = \omega.

Resposta

Sim, S = \omega.

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