Seja X um conjunto qualquer e considere a seguinte definição para tripla ordenada em X :
(\star) \quad<a, b, c>:=\{\{a\},\{a, b\},\{a, b, c\}\}, \quad \forall a, b, c \in X .
Calcule \langle a, b, a\rangle \mathrm{e}\langle a, a, b\rangle e explique porque ( \star ) não é uma boa definição para tripla ordenada.

Passo 1

O enunciado está em teoria de conjuntos e propõe a definição
(\star)\quad \langle a,b,c\rangle := \{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}\}
para toda a,b,c\in X. Pede-se calcular \langle a,b,a\rangle e \langle a,a,b\rangle e mostrar por que essa definição não funciona bem como “tripla ordenada”.

Passo 2

Aplicamos a definição em \langle a,b,a\rangle:
\langle a,b,a\rangle = \{\{a\},\,\{a,b\},\,\{a,b,a\}\}.
Mas \{a,b,a\}=\{a,b\}, de modo que o terceiro elemento repete o segundo. Logo
\langle a,b,a\rangle = \{\{a\},\,\{a,b\},\,\{a,b\}\} = \{\{a\},\,\{a,b\}\}.

Passo 3

Agora em \langle a,a,b\rangle:
\langle a,a,b\rangle = \{\{a\},\,\{a,a\},\,\{a,a,b\}\}.
Aqui \{a,a\}=\{a\} e \{a,a,b\}=\{a,b\}. Assim
\langle a,a,b\rangle = \{\{a\},\,\{a\},\,\{a,b\}\} = \{\{a\},\,\{a,b\}\}.

Passo 4

Comparando
\langle a,b,a\rangle = \{\{a\},\{a,b\}\} \quad\text{e}\quad \langle a,a,b\rangle = \{\{a\},\{a,b\}\},
vemos que são iguais, embora (a,b,a)\neq(a,a,b) como tuplas ordenadas.

Resposta

\langle a,b,a\rangle=\{\{a\},\{a,b\}\} e \langle a,a,b\rangle=\{\{a\},\{a,b\}\}.
Como tuplas diferentes geram o mesmo conjunto, a definição (\star) não é injetiva e, portanto, não serve para distinguir todas as tripas ordenadas.

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