Seja o conjunto
S=\left\{n \in \omega ; 2^{n}>n\right\}
É verdade que S=\omega ?

Passo 1

O enunciado define
S = \{\,n \in \omega \mid 2^{n} > n\}
e pergunta se de fato S = \omega.
O conteúdo envolve provar que para todo número natural n vale 2^n > n. Uma maneira padrão é usar indução sobre \omega.

Passo 2

Verificamos os casos-base manualmente:
Para n=0 e n=1 temos
2^0 = 1 > 0, \qquad 2^1 = 2 > 1,
logo 0\in S e 1\in S.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\in\omega valha 2^k > k. Então
2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2k.
Para completar a indução, precisamos mostrar 2k \ge k+1 sempre que k\ge1. Como
2k - (k+1) = k-1 \ge 0
para todo k\ge1, segue 2k \ge k+1 e portanto
2^{k+1} > k+1.
Isso prova que k+1\in S.

Resposta

Sim. Pelo princípio da indução, 2^n > n para todo n\in\omega, ou seja, S = \omega.

Exercícios relacionados