Seja V=Mn times n(R) o conjunto das matrizes n times n com entradas reais, com as operações usuais de matrizes, sabemos que (V=Mn times n(R),+, cdot) é um espaço vetorial sobre R.Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de V=Mn times n(R) :
W=A in Mn times n(R): A cdot B=B cdot A, onde B in Mn times n(R) é uma matriz fixa.

Passo 1

Beleza, vamos quebrar esse exercício juntos! A gente está trabalhando com o conjunto V = Mn times n(R), que são todas as matrizes quadradas de ordem n com números reais. A questão pede para saber se o subconjunto W = A in Mn times n(R) : A cdot B = B cdot A, onde B é uma matriz fixa, é um subespaço vetorial de V. Para resolver isso, vamos verificar se W satisfaz três propriedades fundamentais de um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em W. O vetor zero nesse contexto é a matriz nula, 0, onde todos os elementos são zero. Precisamos ver se 0 cdot B = B cdot 0.
Sabemos que multiplicar qualquer matriz por a matriz nula resulta na matriz nula:
0 cdot B = 0 = B cdot 0
Então, 0 in W. Isso confirma que W contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Ou seja, se A e C estão em W, então A + C também deve estar em W.
Sabemos que A, C in W significa que:
A cdot B = B cdot A e C cdot B = B cdot C
Queremos mostrar que (A + C) cdot B = B cdot (A + C):
(A + C) cdot B = A cdot B + C cdot B = B cdot A + B cdot C = B cdot (A + C)
Portanto, A + C in W. Isso mostra que W é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se A in W e k é um escalar real, então kA também deve estar em W.
Sabemos que A in W implica que A cdot B = B cdot A. Vamos verificar para kA:
(kA) cdot B = k (A cdot B) = k (B cdot A) = B cdot (kA)
Assim, kA in W. Isso confirma que W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que W é um subespaço vetorial de V = Mn times n(R).

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