Seja
o conjunto das matrizes
com entradas reais, com as operações usuais de matrizes, sabemos que
é um espaço vetorial sobre
.Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de
:
, onde
é uma matriz fixa.
Passo 1
Beleza, vamos quebrar esse exercício juntos! A gente está trabalhando com o conjunto
, que são todas as matrizes quadradas de ordem
com números reais. A questão pede para saber se o subconjunto
, onde
é uma matriz fixa, é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos verificar se
satisfaz três propriedades fundamentais de um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero nesse contexto é a matriz nula,
, onde todos os elementos são zero. Precisamos ver se
.
Sabemos que multiplicar qualquer matriz por a matriz nula resulta na matriz nula:
Então,
. Isso confirma que
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se
e
estão em
, então
também deve estar em
.
Sabemos que
significa que:
Queremos mostrar que
:
Portanto,
. Isso mostra que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
e
é um escalar real, então
também deve estar em
.
Sabemos que
implica que
. Vamos verificar para
:
Assim,
. Isso confirma que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.