Dadas as matrizes: A=[ll0 & 1 1 & 0], B=[cc13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13] C=[cc15 & -2 raiz65 2 raiz65 & 15],
& D=[cc sin theta & -cos theta cos theta & -sin theta ], E=[ccc raiz33 & raiz33 & raiz33 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & 22 ], F=[cc 6 & 9 -4 & -6 ], G=[cc 12 & 16 -9 & -12 ], & H=[ccc -12 & -52 & 1 -12 & -1 & 12 -32 & -3 & 32 ], I=[cc 5 & 10 -2 & -4 ], J=[cc 6 & 10 -3 & -5 ] e K=[ccc -1 & 2 & 6 3 & -2 & -9 -2 & 0 & 3 ]
calcular
(a) A times A^T.
(b) B times B^T.
(c) C times C^T.
(d) D times D^T.
(e) E times E^T.
(f) F^2.
(g) G^2.
(h) H^3.
(i) I^2.
(j) J^2.
(k) K^3

Passo 1

No enunciado temos várias matrizes de dimensões 2times2 e 3times3 e precisamos calcular produtos do tipo M,M^T ou potências M^k. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, além de identificar casos especiais como:
bul<=t ortogonalidade ( M,M^T=I),
bul<=t nilpotência ( M^n=0),
bul<=t idempotência ( M^2=M).

Passo 2

Para
A=0 & 11 & 0
temos A^T=A e
A,A^T = A^2 = 0 & 11 & 0 0 & 11 & 0 = 1 & 00 & 1 = I2

Passo 3

As matrizes
B=tfrac13 & tfrac2raiz23[4pt] tfrac2raiz23 & -tfrac13, C=tfrac15 & -tfrac2raiz65[4pt] tfrac2raiz65 & tfrac15
têm linhas ortonormais (norma 1 e produto interno zero). Logo
B,B^T = I2, C,C^T = I2 ]

Passo 4

Para
D=sintheta & -costheta[4pt] costheta & -sintheta
aplicamos multiplicação geral e obtemos
D,D^T = 1 & sin2theta[4pt]sin2theta & 1 ]

Passo 5

A matriz
E= tfracraiz33 & tfracraiz33 & tfracraiz33[4pt] -tfracraiz63 & tfracraiz66 & tfracraiz66[4pt] 0 & -tfracraiz22 & tfrac22
tem linhas ortonormais em R^3. Portanto
E,E^T = I3 ]

Passo 6

Para
F=6 & 9[4pt]-4 & -6, G=12 & 16[4pt]-9 & -12
vemos que, ao multiplicar cada uma por si mesma, todos os termos se anulam. Logo
F^2 = 02, G^2 = 02 ]

Passo 7

Para
H= -tfrac12 & -tfrac52 & 1[4pt] -tfrac12 & -1 & tfrac12[4pt] -tfrac32 & -3 & tfrac32
vemos que H^2 não é nula, mas ao calcular H^3 = H^2,H todos os elementos se cancelam. Assim
H^3 = 03 ]

Passo 8

Para
I=5 & 10[4pt]-2 & -4, J=6 & 10[4pt]-3 & -5
verificamos que
I^2 = I, J^2 = J,
ou seja, são idempotentes.]

Passo 9

Para
K=-1 & 2 & 6[4pt]3 & -2 & -9[4pt]-2 & 0 & 3
calculamos primeiro K^2 e depois K^3=K^2,K, obtendo de volta K. Logo
K^3 = K ]

Resposta

(a) A,A^T = I2
(b) B,B^T = I2
(c) C,C^T = I2
(d) D,D^T = 1 & sin2theta[4pt]sin2theta & 1
(e) E,E^T = I3
(f) F^2 = 02
(g) G^2 = 02
(h) H^3 = 03
(i) I^2 = I
(j) J^2 = J
(k) K^3 = K]

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