Dadas as matrizes:
,
& D=[cc sin theta & -cos theta cos theta & -sin theta ], E=[ccc raiz33 & raiz33 & raiz33 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & 22 ], F=[cc 6 & 9 -4 & -6 ], G=[cc 12 & 16 -9 & -12 ], & H=[ccc -12 & -52 & 1 -12 & -1 & 12 -32 & -3 & 32 ], I=[cc 5 & 10 -2 & -4 ], J=[cc 6 & 10 -3 & -5 ] e K=[ccc -1 & 2 & 6 3 & -2 & -9 -2 & 0 & 3 ]
calcular
(a)
A times A^T .
(b)
B times B^T .
(c)
C times C^T .
(d)
D times D^T .
(e)
E times E^T .
(f)
F^2 .
(g)
G^2 .
(h)
H^3 .
(i)
I^2 .
(j)
J^2 .
(k)
K^3
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
Passo 1
No enunciado temos várias matrizes de dimensões
2times2 e
3times3 e precisamos calcular produtos do tipo
M,M^T ou potências
M^k . Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, além de identificar casos especiais como:
bul<=t ortogonalidade (
M,M^T=I ),
bul<=t nilpotência (
M^n=0 ),
bul<=t idempotência (
M^2=M ).
Passo 2
Para
temos
A^T=A e
Passo 3
As matrizes
têm linhas ortonormais (norma
1 e produto interno zero). Logo
Passo 4
Para
aplicamos multiplicação geral e obtemos
Passo 5
A matriz
tem linhas ortonormais em
R^3 . Portanto
Passo 6
Para
vemos que, ao multiplicar cada uma por si mesma, todos os termos se anulam. Logo
Passo 7
Para
vemos que
H^2 não é nula, mas ao calcular
H^3 = H^2,H todos os elementos se cancelam. Assim
Passo 8
Para
verificamos que
ou seja, são idempotentes.]
Passo 9
Para
calculamos primeiro
K^2 e depois
K^3=K^2,K , obtendo de volta
K . Logo
Resposta
(a)
A,A^T = I2
(b)B,B^T = I2
(c)C,C^T = I2
(b)
(c)
(d)
D,D^T = 1 & sin2theta[4pt]sin2theta & 1
(e)E,E^T = I3
(f)F^2 = 02
(g)G^2 = 02
(h)H^3 = 03
(i)I^2 = I
(j)J^2 = J
(k)K^3 = K ]
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)