Seja V o conjunto das matrizes reais 2 \times 2. Represente uma matriz arbitrária A de V como soma:
de uma matriz diagonal D com outra matriz B tal que b_{11}+b_{12}+b_{22}=0;

Passo 1

O enunciado pede: dado um elemento arbitrário A do espaço V das matrizes reais 2\times2, representar A como soma de uma matriz diagonal D e outra matriz B que satisfaça a condição
b_{11}+b_{12}+b_{22}=0.
Informações dadas (escolhi notação explícita para ficar tudo claro):
  • A matriz arbitrária A tem entradas desconhecidas que vou chamar de \,a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}.
  • Preciso encontrar matrizes D e B tais que A=D+B, D seja diagonal e b_{11}+b_{12}+b_{22}=0.

Passo 2

Escrevo A em termos de suas entradas:
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}.
Como D deve ser diagonal, tomo
D=\begin{pmatrix}d_{11}&0\\[4pt]0&d_{22}\end{pmatrix},
com d_{11},d_{22} desconhecidos (a decidir). Como A=D+B, temos B=A-D. Escrevendo as entradas de B:
B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}-d_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}-d_{22}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora imponho a condição pedida para B:
b_{11}+b_{12}+b_{22}=0.
Substituindo as entradas em termos de a_{ij} e d_{ii} obtém-se
(a_{11}-d_{11}) + a_{12} + (a_{22}-d_{22})=0.
Reagrupando,
-(d_{11}+d_{22}) + (a_{11}+a_{12}+a_{22})=0,
ou seja
d_{11}+d_{22}=a_{11}+a_{12}+a_{22}.
Chamo de S a soma dos termos do lado direito:
S:=a_{11}+a_{12}+a_{22}.

Passo 4

Interpretando a equação d_{11}+d_{22}=S: é uma única equação linear para as duas incógnitas d_{11} e d_{22}. Portanto existe uma família infinita de soluções. Posso parametrizar por um parâmetro livre t\in\mathbb{R} escolhendo
d_{11}=t,\qquad d_{22}=S-t.
Com essa escolha, D e B ficam, em termos de t,
D=\begin{pmatrix}t&0\\[4pt]0&S-t\end{pmatrix}, \qquad B=A-D=\begin{pmatrix}a_{11}-t & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}-(S-t)\end{pmatrix}.
Verifico rapidamente a condição pedida:
b_{11}+b_{12}+b_{22}=(a_{11}-t)+a_{12}+\bigl(a_{22}-(S-t)\bigr) = a_{11}+a_{12}+a_{22}-S =0,
como desejado.]

Passo 5

Para ficar mais concreto (útil na prova), escolho uma escolha simples do parâmetro t. Tomando t=a_{11} obtemos uma decomposição prática:
D=\begin{pmatrix}a_{11}&0\\[4pt]0&a_{12}+a_{22}\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & a_{12}\\[4pt] a_{21} & -a_{12}\end{pmatrix}.
Aqui b_{11}+b_{12}+b_{22}=0+a_{12}+(-a_{12})=0, logo a condição está satisfeita. Essa escolha é conveniente porque elimina b_{11}, deixando B com entradas simples em termos de a_{ij}.]

Passo 6

Resumo didático e dica para a prova: para decompor A basta observar que a condição sobre os elementos de B impõe apenas que a soma das entradas diagonais de D valha S=a_{11}+a_{12}+a_{22}. Pode-se então escolher arbitrariamente um valor para d_{11} (por exemplo d_{11}=a_{11} para simplificar) e definir d_{22}=S-d_{11}. Isso sempre produz D diagonal e B=A-D com b_{11}+b_{12}+b_{22}=0. Vá com calma na prova: escreva as entradas, escreva a condição, resolva a equação linear para as diagonais de D — é curto e seguro.

Resposta

\text{Para todo }t\in\mathbb{R}:\quad D=\begin{pmatrix}t&0\\[4pt]0&a_{11}+a_{12}+a_{22}-t\end{pmatrix}, \qquad B=A-D=\begin{pmatrix}a_{11}-t & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}-a_{11}-a_{12}+t\end{pmatrix}.]

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