Seja
o conjunto das matrizes reais
. Represente uma matriz arbitrária
de
como soma:
de uma matriz diagonal
com outra matriz
tal que
;
de uma matriz diagonal
Passo 1
O enunciado pede: dado um elemento arbitrário
do espaço
das matrizes reais
, representar
como soma de uma matriz diagonal
e outra matriz
que satisfaça a condição
Informações dadas (escolhi notação explícita para ficar tudo claro):
- A matriz arbitrária
tem entradas desconhecidas que vou chamar de . - Preciso encontrar matrizes
e tais que , seja diagonal e .
Passo 2
Escrevo
em termos de suas entradas:
Como
deve ser diagonal, tomo
com
desconhecidos (a decidir). Como
, temos
. Escrevendo as entradas de
:
Passo 3
Agora imponho a condição pedida para
:
Substituindo as entradas em termos de
e
obtém-se
Reagrupando,
ou seja
Chamo de
a soma dos termos do lado direito:
Passo 4
Interpretando a equação
: é uma única equação linear para as duas incógnitas
e
. Portanto existe uma família infinita de soluções. Posso parametrizar por um parâmetro livre
escolhendo
Com essa escolha,
e
ficam, em termos de
,
Verifico rapidamente a condição pedida:
como desejado.]
Passo 5
Para ficar mais concreto (útil na prova), escolho uma escolha simples do parâmetro
. Tomando
obtemos uma decomposição prática:
Aqui
, logo a condição está satisfeita. Essa escolha é conveniente porque elimina
, deixando
com entradas simples em termos de
.]
Passo 6
Resumo didático e dica para a prova: para decompor
basta observar que a condição sobre os elementos de
impõe apenas que a soma das entradas diagonais de
valha
. Pode-se então escolher arbitrariamente um valor para
(por exemplo
para simplificar) e definir
. Isso sempre produz
diagonal e
com
. Vá com calma na prova: escreva as entradas, escreva a condição, resolva a equação linear para as diagonais de
— é curto e seguro.