Seja V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Represente um elemento arbitrário p de V como soma:
de dois polinômios g e h de V sendo que g possui termo constante nulo e h não possui o termo do primeiro grau.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetor V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau no máximo 2) e pede que, para um elemento arbitrário p\in V, seja encontrada uma escrita
p=g+h
onde g,h\in V satisfazem as restrições:
g possui termo constante nulo (isto é, o coeficiente de x^{0} em g é zero);
h não possui termo do primeiro grau (isto é, o coeficiente de x^{1} em h é zero).
As informações relevantes que temos explicitamente:
Um p arbitrário em V pode ser escrito como
p(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}.
Precisamos encontrar g e h em V tais que p=g+h e que g e h obedeçam às restrições acima.
Passo 2
Vamos escrever formas gerais para g e h respeitando as restrições dadas.
Como g tem termo constante nulo, a forma geral é
g(x)=\alpha x^{2}+\beta x,
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Como h não possui termo do primeiro grau, a forma geral é
Explicação técnica curta (por que igualar coeficientes?): duas expressões polinomiais são iguais para todo x se, e somente se, os coeficientes das potências x^{2}, x e x^{0} forem iguais termo a termo. Isso permite equacionar coeficientes para achar \alpha,\beta,\gamma,\delta.
Igualando coeficientes em cada potência de x obtemos o sistema:
A primeira equação impõe \alpha+\gamma=a; isto fornece uma relação entre \alpha e \gamma, ou seja há liberdade para escolher como repartir o coeficiente a entre \alpha e \gamma.
Portanto a solução geral é:
\alpha=t,\qquad \gamma=a-t
para um parâmetro arbitrário t\in\mathbb{R}, e sempre \beta=b,\\ \delta=c.
Passo 5
Escrevendo g e h com esse parâmetro t, obtemos a família de decomposições pedidas:
Isto mostra que sempre existe tal decomposição e que ela não é única (porque o coeficiente de x^{2} pode ser repartido de maneiras diferentes entre g e h).
Passo 6
Duas observações práticas para a prova (pequena “cola”):
Uma escolha simples e canônica é tomar t=a. Isso dá a decomposição conveniente e única (entre as canônicas):
g(x)=a x^{2}+b x,\qquad h(x)=c.
Outra escolha simples é t=0, que dá
g(x)=b x,\qquad h(x)=a x^{2}+c.
Em ambos os casos as restrições de g e h são respeitadas; pode usar qualquer escolha que facilite cálculos na prova.