Seja V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Represente um elemento arbitrário p de V como soma:
de dois polinômios g e h de V sendo que g possui termo constante nulo e h não possui o termo do primeiro grau.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetor V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau no máximo 2) e pede que, para um elemento arbitrário p\in V, seja encontrada uma escrita
p=g+h
onde g,h\in V satisfazem as restrições:
  • g possui termo constante nulo (isto é, o coeficiente de x^{0} em g é zero);
  • h não possui termo do primeiro grau (isto é, o coeficiente de x^{1} em h é zero).
As informações relevantes que temos explicitamente:
  • Um p arbitrário em V pode ser escrito como
p(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Precisamos encontrar g e h em V tais que p=g+h e que g e h obedeçam às restrições acima.

Passo 2

Vamos escrever formas gerais para g e h respeitando as restrições dadas.
  • Como g tem termo constante nulo, a forma geral é
g(x)=\alpha x^{2}+\beta x,
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
  • Como h não possui termo do primeiro grau, a forma geral é
h(x)=\gamma x^{2}+\delta,
com \gamma,\delta\in\mathbb{R}.
Agora queremos que
p(x)=g(x)+h(x),
ou seja
ax^{2}+bx+c=(\alpha x^{2}+\beta x)+(\gamma x^{2}+\delta).

Passo 3

Explicação técnica curta (por que igualar coeficientes?): duas expressões polinomiais são iguais para todo x se, e somente se, os coeficientes das potências x^{2}, x e x^{0} forem iguais termo a termo. Isso permite equacionar coeficientes para achar \alpha,\beta,\gamma,\delta.
Igualando coeficientes em cada potência de x obtemos o sistema:
\begin{cases} a=\alpha+\gamma,\\[4pt] b=\beta,\\[4pt] c=\delta. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema encontrado:
  • Da segunda equação vem imediatamente \beta=b.
  • Da terceira equação vem imediatamente \delta=c.
  • A primeira equação impõe \alpha+\gamma=a; isto fornece uma relação entre \alpha e \gamma, ou seja há liberdade para escolher como repartir o coeficiente a entre \alpha e \gamma.
Portanto a solução geral é:
\alpha=t,\qquad \gamma=a-t
para um parâmetro arbitrário t\in\mathbb{R}, e sempre \beta=b,\\ \delta=c.

Passo 5

Escrevendo g e h com esse parâmetro t, obtemos a família de decomposições pedidas:
g(x)=t x^{2}+b x, \qquad h(x)=(a-t)x^{2}+c, \qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que sempre existe tal decomposição e que ela não é única (porque o coeficiente de x^{2} pode ser repartido de maneiras diferentes entre g e h).

Passo 6

Duas observações práticas para a prova (pequena “cola”):
  • Uma escolha simples e canônica é tomar t=a. Isso dá a decomposição conveniente e única (entre as canônicas):
g(x)=a x^{2}+b x,\qquad h(x)=c.
  • Outra escolha simples é t=0, que dá
g(x)=b x,\qquad h(x)=a x^{2}+c.
Em ambos os casos as restrições de g e h são respeitadas; pode usar qualquer escolha que facilite cálculos na prova.

Resposta

Geral: para p(x)=ax^{2}+bx+c tem-se
p(x)=\big(t x^{2}+b x\big)+\big((a-t)x^{2}+c\big),\qquad t\in\mathbb{R}.
Escolha canônica (uma opção simples):
p(x)=(a x^{2}+b x)+\text{(c)}.

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