De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de três interios positivos?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos?”
Informações dadas: o número alvo é 720.
Observação importante (decisão de interpretação): vou contar decomposições ordenadas, isto é, vou contar tripla (a,b,c) distinta de (b,a,c) quando a ordem muda. (Se o problema quisesse contar apenas conjuntos sem ordem, o método seria parecido mas com correções por permutações; aqui considero ordens diferentes como modos diferentes.)

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar 720 em primos. Vamos fazer isso devagarinho para você pegar a ideia.
720 = 72 \cdot 10 = (8\cdot 9)\cdot(2\cdot 5).
Agora escrevendo em potências de primos:
8 = 2^3,\quad 9 = 3^2,\quad 2 = 2,\quad 5 = 5.
Juntando os fatores de 2:
720 = 2^3\cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}.
Portanto a fatoração prima é
720 = 2^{4}\,3^{2}\,5^{1}.

Passo 3

Agora a ideia-chave: cada decomposição em três inteiros positivos (a,b,c) com abc=720 corresponde exatamente a escolher, para cada primo, como repartir seu expoente entre a, b e c.
Escrevemos
a=2^{\alpha_1}3^{\beta_1}5^{\gamma_1},\quad b=2^{\alpha_2}3^{\beta_2}5^{\gamma_2},\quad c=2^{\alpha_3}3^{\beta_3}5^{\gamma_3},
onde cada \alpha_i,\beta_i,\gamma_i é um inteiro não-negativo. As restrições vêm da fatoração de 720: para o primo 2 temos
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=4,
para o primo 3
\beta_1+\beta_2+\beta_3=2,
e para o primo 5
\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3=1.
Cada escolha de soluções não-negativas dessas equações determina uma única tripla ordenada (a,b,c), e vice-versa.

Passo 4

Agora preciso contar o número de soluções não-negativas inteiras da equação
x_1+x_2+x_3 = e,
onde e é o expoente do primo em 720. Este é um clássico “stars and bars” (estrelas e barras). Vou explicar por que a fórmula funciona:
  • Pense em e estrelas idênticas que representam as unidades do expoente a distribuir.
  • Queremos dividir essas e estrelas em 3 caixas sequenciais (para a,b,c). Para demarcar as divisões entre caixas usamos 2 barras.
  • Assim arranjos de e estrelas e 2 barras em sequência correspondem a uma distribuição dos e itens em 3 partes (incluindo possibilidade de parte zero).
  • O número de posições totais é e+2 e escolher quais 2 serão barras dá \binom{e+2}{2} escolhas.
Portanto o número de soluções não-negativas é
\binom{e+2}{2}.

Passo 5

Aplicando isso a cada primo:
  • Para o primo 2 temos e=4, então número de distribuições é
\binom{4+2}{2}=\binom{6}{2}=15.
  • Para o primo 3 temos e=2, então
\binom{2+2}{2}=\binom{4}{2}=6.
  • Para o primo 5 temos e=1, então
\binom{1+2}{2}=\binom{3}{2}=3.
Como as escolhas para cada primo são independentes (posso escolher a distribuição dos 2's, depois dos 3's, depois dos 5's), o número total de decomposições ordenadas é o produto desses números.

Passo 6

Multiplicando:
15 \times 6 \times 3 = 270.
Portanto existem 270 modos ordenados de escrever 720 como produto de três inteiros positivos. (Se você quiser contar apenas decomposições sem ordem, haveria que dividir por permutações iguais quando aplicável — me avisa que eu mostro isso também.)

Resposta

270

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