De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de três interios positivos?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantos modos
pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos?”
Informações dadas: o número alvo é .
Observação importante (decisão de interpretação): vou contar decomposições ordenadas, isto é, vou contar tripla distinta de
quando a ordem muda. (Se o problema quisesse contar apenas conjuntos sem ordem, o método seria parecido mas com correções por permutações; aqui considero ordens diferentes como modos diferentes.)
Informações dadas: o número alvo é
Observação importante (decisão de interpretação): vou contar decomposições ordenadas, isto é, vou contar tripla
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar
em primos. Vamos fazer isso devagarinho para você pegar a ideia.
Agora escrevendo em potências de primos:
Juntando os fatores de
:
Portanto a fatoração prima é
Passo 3
Agora a ideia-chave: cada decomposição em três inteiros positivos
com
corresponde exatamente a escolher, para cada primo, como repartir seu expoente entre
,
e
.
Escrevemos
onde cada
é um inteiro não-negativo. As restrições vêm da fatoração de
: para o primo
temos
para o primo
e para o primo
Cada escolha de soluções não-negativas dessas equações determina uma única tripla ordenada
, e vice-versa.
Passo 4
Agora preciso contar o número de soluções não-negativas inteiras da equação
onde
é o expoente do primo em
. Este é um clássico “stars and bars” (estrelas e barras). Vou explicar por que a fórmula funciona:
- Pense em
estrelas idênticas que representam as unidades do expoente a distribuir. - Queremos dividir essas
estrelas em 3 caixas sequenciais (para ). Para demarcar as divisões entre caixas usamos 2 barras. - Assim arranjos de
estrelas e 2 barras em sequência correspondem a uma distribuição dos itens em 3 partes (incluindo possibilidade de parte zero). - O número de posições totais é
e escolher quais 2 serão barras dá escolhas.
Portanto o número de soluções não-negativas é
Passo 5
Aplicando isso a cada primo:
- Para o primo
temos , então número de distribuições é
- Para o primo
temos , então
- Para o primo
temos , então
Como as escolhas para cada primo são independentes (posso escolher a distribuição dos
's, depois dos
's, depois dos
's), o número total de decomposições ordenadas é o produto desses números.
Passo 6
Multiplicando:
Portanto existem
modos ordenados de escrever
como produto de três inteiros positivos. (Se você quiser contar apenas decomposições sem ordem, haveria que dividir por permutações iguais quando aplicável — me avisa que eu mostro isso também.)