Seja R[x] o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em R. Lembre que uma função T: R[x] → R[x] é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
T(ap(x)+bq(x))=aT(p(x))+bT(q(x))
para quaisquer polinômios p(x), q(x) ∈ R[x] e escalares a, b ∈ R.
Dentre as seguintes funções T: R[x] → R[x], qual delas NÃO é linear?
Questão 7
Resposta
T(p(x))=dp(x)/dx+2x
T(p(x))=x3dp(x)/dx
T(p(x))=5p(x)+dp(x)/dx
T(p(x))=10dp(x)/dx-x2p(x)
T(p(x))=dp(x)/dx
T(ap(x)+bq(x))=aT(p(x))+bT(q(x))
para quaisquer polinômios p(x), q(x) ∈ R[x] e escalares a, b ∈ R.
T(p(x))=x3dp(x)/dx
T(p(x))=5p(x)+dp(x)/dx
T(p(x))=10dp(x)/dx-x2p(x)
T(p(x))=dp(x)/dx
Passo 1
Estamos com transformações lineares T: R[x]→R[x] e queremos achar qual das opções não satisfaz a condição de linearidade, ou seja, não faz T(a p+b q)=a T§+b T(q). Vamos usar propriedades de derivada e teste em T(0).
Passo 2
A derivada p↦p’ é linear e multiplicar por um polinômio (como x³ ou x²) também é linear. Soma e escalares preservam linearidade. Porém, adicionar um polinômio fixo (como 2x) a T§ pode quebrar a propriedade porque T(0) deixaria de ser 0.
Passo 3
Para testar, calculemos T(0) em cada caso:
- Para T§=p’+2x: T(0)=0’+2x=2x≠0, logo falha a condição de linearidade.
- Para T§=x³p’: T(0)=x³·0’=0.
- Para T§=5p+p’: T(0)=5·0+0’=0.
- Para T§=10p’−x²p: T(0)=10·0−x²·0=0.
- Para T§=p’: T(0)=0’.=0.
Passo 4
Só a primeira opção não anula o polinômio zero, portanto é a única não linear.
Resposta
T(p(x))=