Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o limite
. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Pra resolver, a gente vai precisar saber como simplificar expressões algébricas e entender o comportamento das funções quando
se aproxima de um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Olha só o numerador:
. Podemos reescrever isso como
. Reconhecendo isso, percebemos que é um quadrado perfeito. Então:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
. Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que pode ser fatorado da seguinte maneira:
Passo 4
Substituindo as simplificações de volta na expressão original, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
). Isso significa que
está vindo de valores menores que 3, tipo 2.9, 2.99, etc.
Passo 6
Vamos avaliar cada parte:
-
Numerador:
sempre será positivo ou zero, já que é um quadrado. Em , fica . -
Denominador:
está se aproximando de 0, mas como vem pela esquerda, será negativo e muito próximo de 0. Já é positivo porque, por exemplo, .
Passo 7
Então, o denominador todo
será negativo, porque é resultado de um número negativo (
) multiplicado por um positivo (
).
Passo 8
Com o numerador positivo e o denominador negativo, a fração toda será negativa. Além disso, o denominador está se aproximando de 0, o que faz com que a fração aumente em valor absoluto.
Passo 9
Portanto, o limite tende para menos infinito:
Resposta
O limite é igual a
.