Calcule:
lim x 3^- 1-2 x+x^2x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o limite lim x 3^- 1-2 x+x^2x^2-9. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Pra resolver, a gente vai precisar saber como simplificar expressões algébricas e entender o comportamento das funções quando x se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Olha só o numerador: 1 - 2x + x^2. Podemos reescrever isso como x^2 - 2x + 1. Reconhecendo isso, percebemos que é um quadrado perfeito. Então:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador: x^2 - 9. Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que pode ser fatorado da seguinte maneira:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 4

Substituindo as simplificações de volta na expressão original, temos:
lim x 3^- (x - 1)^2(x - 3)(x + 3)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda ( 3^-). Isso significa que x está vindo de valores menores que 3, tipo 2.9, 2.99, etc.

Passo 6

Vamos avaliar cada parte:
  • Numerador: (x - 1)^2 sempre será positivo ou zero, já que é um quadrado. Em x = 3, fica (3 - 1)^2 = 4.
  • Denominador: (x - 3) está se aproximando de 0, mas como x vem pela esquerda, x - 3 será negativo e muito próximo de 0. Já (x + 3) é positivo porque, por exemplo, 3 + 3 = 6.

Passo 7

Então, o denominador todo (x - 3)(x + 3) será negativo, porque é resultado de um número negativo ( x - 3) multiplicado por um positivo ( x + 3).

Passo 8

Com o numerador positivo e o denominador negativo, a fração toda será negativa. Além disso, o denominador está se aproximando de 0, o que faz com que a fração aumente em valor absoluto.

Passo 9

Portanto, o limite tende para menos infinito:
lim x 3^- 1-2 x+x^2x^2-9 = -infty

Resposta

O limite é igual a -infty.

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