Faça você mesmo(a)!
Considere o vetor v=(3,5) e a base beta=(1,1),(0,2). Determine a matriz coordenada de v com respeito a base beta.
Atenção! O cumprimento das atividades resultará no bom andamento do seu curso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz coordenada do vetor em relação à base . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, onde trabalhamos com vetores e bases para entender como representar vetores de maneiras diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar as coordenadas de um vetor em uma base específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base está no espaço bidimensional .

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vetor v = a cdot (1,1) + b cdot (0,2) em relação à base , queremos descobrir quais coeficientes e multiplicados pelos vetores da base resultam no vetor . Ou seja, queremos encontrar e tais que:

Passo 4

Vamos escrever isso como um sistema de equações. Isso significa que:
(3,5) = a cdot (1,1) + b cdot (0,2)
Isso dá:
3 = a cdot 1 + b cdot 0 5 = a cdot 1 + b cdot 2

Passo 5

Simplificando as equações, temos:
  1. 5 = 3 + 2b
Já conseguimos descobrir que pela primeira equação. Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 6

Resolvendo para 5 - 3 = 2b 2 = 2b b = 1 :

Resposta

A matriz coordenada de [v]beta = 3 1 em relação à base é:

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