Seja W o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X=0, em que
A=[rrrr 1 & -1 & -1 & 0 4 & -5 & -5 & -1 -2 & 3 & 3 & 1 ]
(b) Determine a dimensão e uma base para W.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço solução W do sistema homogêneo
A X = 0,
onde
A = 1 & -1 & -1 & 0 4 & -5 & -5 & -1 -2 & 3 & 3 & 1 ,
ou seja, é um problema de espaço nulo de matriz em Álgebra Linear.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & -1 & -1 & 0 4 & -5 & -5 & -1 -2 & 3 & 3 & 1 longrightarrow 1 & -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 & 1 (R2!-!4R1,;R3+2R1)
longrightarrow 1 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 (R2!times(-1),;R3+R2)
longrightarrow 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 (R1+R2)

Passo 3

Da forma escalonada reduzida vemos que há pivôs nas colunas 1 e 2, logo
posto(A)=2
e o número de variáveis livres é 4-2=2. Chamemos
x3 = s, x4 = t

Passo 4

Das equações pivô obtemos
x1 + x4 = 0 ;Rightarrow; x1 = -t,
x2 + x3 + x4 = 0 ;Rightarrow; x2 = -s - t
Logo a solução geral é
X = l(x1,x2,x3,x4r) = l(-t,,-s - t,;s,;tr) = s,(0,-1,1,0);+;t,(-1,-1,0,1)

Passo 5

Da expressão acima vemos que dois vetores geram o espaço solução e são independentes. Portanto,
dim(W)=2
e uma base é
l(0,-1,1,0),;(-1,-1,0,1)r

Resposta

A dimensão de W é 2 e uma base para W é
(0,-1,1,0),;(-1,-1,0,1)

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