Seja W o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X=0, em que
A=[rrrr 1 & -1 & -1 & 0 4 & -5 & -5 & -1 -2 & 3 & 3 & 1 ]
(c) Determine uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de
W = XinR^4 mid A,X = 0,
onde
A = 1 & -1 & -1 & 0 4 & -5 & -5 & -1 -2 & 3 & 3 & 1
O conteúdo envolve dois pontos principais: (i) encontrar uma base do espaço nulo de A e (ii) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal.

Passo 2

Vamos achar a forma escalonada de . Partindo de
fazendo e , obtemos
Somando e ajustando o sinal de , chegamos à forma reduzia
Daí as equações são
com e livres. Isso dá o vetor solução
Assim uma base de (não ortogonal) é

Passo 3

Agora aplicamos o processo de Gram–Schmidt a v1,v2. Definimos
w1 = v1 = 0-110,
e subtraímos de v2 sua projeção sobre w1. Calculamos
lang<= w1,v2rang<= = 1, lang<= w1,w1rang<= = 2,
então
projw1(v2) = lang<= w1,v2rang<=lang<= w1,w1rang<=,w1 = 12,w1
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w2 = v2 - 12,w1 = -1-101 - 120-110 = -1-tfrac12-tfrac121
Para evitar frações, podemos dobrar w2 sem perder a ortogonalidade:
w2' = 2,w2 = -2-1-12
Verifique-se que lang<= w1,w2'rang<==0.

Resposta

Uma base ortogonal de W é dada por
w1 = 0-110, w2 = -2-1-12

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