Determine a área do triângulo de vértices:
A(2,2,0), B(-1,0,2) e C(0,4,3)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices A(2,2,0), B(-1,0,2) e C(0,4,3). Como estamos em R^3, vamos usar o produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por AB e AC é l|ABtimesACr|, e a área do triângulo é metade disso.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC subtraindo coordenadas:
AB = B - A = (-1-2,;0-2,;2-0) = (-3,-2,2),
AC = C - A = (0-2,;4-2,;3-0) = (-2,2,3)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial:
ABtimesAC = i & j & k -3 & -2 & 2 -2 & 2 & 3 = l(-2cdot3-2cdot2,;-(-3cdot3-2cdot(-2)),;-3cdot2-(-2)cdot(-2)r) = (-10,,5,,-10)

Passo 4

A norma desse vetor é
l|(-10,5,-10)r| = raiz(-10)^2 + 5^2 + (-10)^2 = raiz100 + 25 + 100 = raiz225 = 15

Passo 5

Como essa norma é a área do paralelogramo, a área do triângulo é
Área = 12times 15 = 152 = 7,5 Á

Resposta

A área do triângulo é 7,5.

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