Seja r uma região de R^wed>= 2 inteiramente contida em [a,b] cartesiano [c,d], sendo [a,b] e [c,d] intervalos não degenerados de números reais. Se f e g são funções reais integráveis em r, prove que a integral da soma de f com g é a soma das respectivas integrais de f e g em r.

Passo 1

A questão diz para provar que, dada uma região r em [a,b]times[c,d] e funções integráveis em r, vale a propriedade de linearidade da integral dupla: integral duplar(f+g)=integral duplar f+integral duplar g. Vamos usar a definição de integrabilidade via somas de Darboux (inferior e superior).

Passo 2

Vamos escolher uma partição P de [a,b]times[c,d] em retângulos Rij, de modo que r é união de certos Rij ou interseção. Para cada Rij definimos as quantidades:
mij(f)=inf(x,y)in rcap Rijf(x,y), Mij(f)=sup(x,y)in rcap Rijf(x,y),
mij(g)=inf(x,y)in rcap Rijg(x,y), Mij(g)=sup(x,y)in rcap Rijg(x,y),
mij(f+g)=inf(x,y)in rcap Rij(f+g)(x,y), Mij(f+g)=sup(x,y)in rcap Rij(f+g)(x,y)
As somas inferiores e superiores são dadas por
L(f,P)=sumi,jmij(f),De
com Deá, e idem para g e f+g.

Passo 3

Para cada sub-retângulo Rij observe que, para todo (x,y)in rcap Rij, vale
f(x,y)+g(x,y)>= mij(f)+mij(g),
logo ao tomar ínfimos
mij(f+g)>= mij(f)+mij(g)
De forma análoga
Mij(f+g)<= Mij(f)+Mij(g)
Somando em i,j e multiplicando por De segue
L(f+g,P)>= L(f,P)+L(g,P), U(f+g,P)<= U(f,P)+U(g,P)

Passo 4

Como f e g são integráveis em r, para dado varepsilon>0 existem partições Pf e Pg tais que
U(f,Pf)-L(f,Pf)
Tomamos uma partição comum P que refina Pf e Pg. Pelas desigualdades do passo anterior,
U(f+g,P)-L(f+g,P)<=[U(f,P)+U(g,P)]-[L(f,P)+L(g,P)]
Isso mostra que f+g é integrável em r.

Passo 5

Para concluir a igualdade das integrais, usamos que
integral duplar f=supP L(f,P)=infP U(f,P),
e o mesmo para g e f+g. Do fato
L(f+g,P)>= L(f,P)+L(g,P)
segue
supP L(f+g,P)>=supP[L(f,P)+L(g,P)]>=supP L(f,P)+supP L(g,P)=integral duplar f+integral duplar g
E de
U(f+g,P)<= U(f,P)+U(g,P)
segue
infP U(f+g,P)<=infP U(f,P)+infP U(g,P)=integral duplar f+integral duplar g
Como para f+g a integral é simultaneamente o supremo das somas inferiores e o ínfimo das somas superiores, obtemos
integral duplar(f+g)=integral duplar f+integral duplar g

Resposta

integral duplar(f+g)=integral duplar f+integral duplar g.

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