Seja r uma região de
inteiramente contida em [a,b] cartesiano [c,d], sendo [a,b] e [c,d] intervalos não degenerados de números reais. Se f e g são funções reais integráveis em
, prove que a integral da soma de
com
é a soma das respectivas integrais de f e
em
.
Passo 1
A questão diz para provar que, dada uma região r em
e funções integráveis em r, vale a propriedade de linearidade da integral dupla:
. Vamos usar a definição de integrabilidade via somas de Darboux (inferior e superior).
Passo 2
Vamos escolher uma partição P de
em retângulos
, de modo que r é união de certos
ou interseção. Para cada
definimos as quantidades:
As somas inferiores e superiores são dadas por
com
, e idem para g e f+g.
Passo 3
Para cada sub-retângulo
observe que, para todo
, vale
logo ao tomar ínfimos
De forma análoga
Somando em i,j e multiplicando por
segue
Passo 4
Como f e g são integráveis em r, para dado
existem partições
e
tais que
Tomamos uma partição comum P que refina
e
. Pelas desigualdades do passo anterior,
Isso mostra que f+g é integrável em r.
Passo 5
Para concluir a igualdade das integrais, usamos que
e o mesmo para g e f+g. Do fato
segue
E de
segue
Como para f+g a integral é simultaneamente o supremo das somas inferiores e o ínfimo das somas superiores, obtemos