Seja o conjunto universo Omega=1,2,3, cdots, 25. Defina os seguintes conjuntos:
An=n+1, n+2, n+3, cdots, 2 n para n=1,2, cdots 10.
Calcule:
cupi=1^10 Ai.

Passo 1

O enunciado define o universo Omega=1,2,3,dots,25 e, para n=1,2,dots,10, os subconjuntos
An = ,n+1,,n+2,dots,2n
Queremos calcular a união
cupi=1^10 Ai

Passo 2

Vamos encontrar o menor e o maior elemento que aparecem em algum An.
  • Para n=1, A1=,1+1=2, logo o menor elemento da união é 2.
  • Para n=10, A10=11,12,dots,20, logo o maior elemento da união é 20.

Passo 3

Devemos agora verificar que todo inteiro k com 2<= k<=20 pertence a algum An.
Procuramos n tal que
n+1 <= k <= 2n Long<=ftrightarrow k/2 <= n <= k-1
Como k/2<= k-1 para k>=2, sempre existe um inteiro n entre lceil k/2rceil e min(10,k-1). Para 2<= k<=20 este intervalo de n não está vazio e fica dentro de 1,dots,10. Assim cada kin2,3,dots,20 está em algum An.

Passo 4

Qualquer m<2 não pode estar em cupi=1^10Ai porque o menor elemento de todos os Ai é 2. E para m>20, temos m>2n para todo n<=10, logo também não aparece em nenhum An.

Resposta

cupi=1^10Ai = 2,3,4,dots,20

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