Q15: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B)
para todo
e existe
.
(C)
para todo
e existe
com
.
(D) existem
e
tais que
.
(E)
para todo
.
(A)
(B)
(C)
(D) existem
(E)
Passo 1
O enunciado dá: uma matriz simétrica
chamada
e a forma quadrática associada
. Diz também que o espectro (os autovalores) de
é
. A pergunta é: qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira sobre o sinal de
para vetores
ou sobre a existência de vetores com
. Informações relevantes listadas:
-
é simétrica e de ordem . - Os autovalores que aparecem no espectro são
(não foi dada a multiplicidade, mas todos os valores apresentados são positivos).
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental de matrizes simétricas (vou explicar devagar para você aplicar na prova): toda matriz simétrica real
pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal
. Isso significa que existe uma matriz ortogonal
(ou seja,
) tal que
onde
é uma matriz diagonal cujas entradas na diagonal são exatamente os autovalores de
(cada autovalor repetido conforme sua multiplicidade). Aqui “espectro” significa exatamente esses autovalores. Como o enunciado nos deu os valores
, a diagonal de
terá apenas números iguais a
,
e
(alguns repetidos para totalizar
entradas na diagonal), e portanto todas as entradas da diagonal de
são estritamente positivas.
Passo 3
Agora reescrevemos a forma quadrática usando essa diagonalização. Colocando
(observe que
é invertível e ortogonal, então
se e somente se
), temos
Como
é diagonal com entradas
iguais a
(com as multiplicidades que completam cinco valores), a expressão fica
Cada
é um autovalor de
. Pelo que foi dado, cada
(pois são
possivelmente repetidos). Então cada termo
é maior ou igual a
, e se
pelo menos um
, o que faz o somatório ser estritamente maior que
.
Passo 4
Conclusão lógica: para todo
temos
e assim
Isto é exatamente a definição de matriz (e forma quadrática) positiva definida: todos os autovalores são positivos e
para todo
. Portanto a alternativa correta é a que afirma que
para todo
.
Resposta
(E)