Q15: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{3,4,1\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(B) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} \operatorname{com} f(\vec{w})=0.
(C) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(D) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(E) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado dá: uma matriz simétrica 5\times5 chamada A e a forma quadrática associada f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}. Diz também que o espectro (os autovalores) de A é \{3,4,1\}. A pergunta é: qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira sobre o sinal de f(\vec{v}) para vetores \vec{v}\neq\vec{0} ou sobre a existência de vetores com f(\vec{v})=0. Informações relevantes listadas:
  • A é simétrica e de ordem 5.
  • Os autovalores que aparecem no espectro são \;3,\;4,\;1\; (não foi dada a multiplicidade, mas todos os valores apresentados são positivos).
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental de matrizes simétricas (vou explicar devagar para você aplicar na prova): toda matriz simétrica real A pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal Q. Isso significa que existe uma matriz ortogonal Q (ou seja, Q^{T}Q=I) tal que
Q^{T} A Q = D,
onde D é uma matriz diagonal cujas entradas na diagonal são exatamente os autovalores de A (cada autovalor repetido conforme sua multiplicidade). Aqui “espectro” significa exatamente esses autovalores. Como o enunciado nos deu os valores \;3,\;4,\;1\;, a diagonal de D terá apenas números iguais a 3, 4 e 1 (alguns repetidos para totalizar 5 entradas na diagonal), e portanto todas as entradas da diagonal de D são estritamente positivas.

Passo 3

Agora reescrevemos a forma quadrática usando essa diagonalização. Colocando \vec{y}=Q^{T}\vec{v} (observe que Q é invertível e ortogonal, então \vec{v}\neq\vec{0} se e somente se \vec{y}\neq\vec{0}), temos
f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}=(Q^{T}\vec{v})^{T} (Q^{T} A Q) (Q^{T}\vec{v})=\vec{y}^{T} D \vec{y}.
Como D é diagonal com entradas \lambda_{1},\dots,\lambda_{5} iguais a 3,4,1 (com as multiplicidades que completam cinco valores), a expressão fica
\vec{y}^{T}D\vec{y}=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{5} y_{5}^{2}.
Cada \lambda_{i} é um autovalor de A. Pelo que foi dado, cada \lambda_{i}>0 (pois são 3,4,1 possivelmente repetidos). Então cada termo \lambda_{i} y_{i}^{2} é maior ou igual a 0, e se \vec{y}\neq\vec{0} pelo menos um y_{i}\neq0, o que faz o somatório ser estritamente maior que 0.

Passo 4

Conclusão lógica: para todo \vec{v}\neq\vec{0} temos \vec{y}=Q^{T}\vec{v}\neq\vec{0} e assim
f(\vec{v})=\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i} y_{i}^{2}>0.
Isto é exatamente a definição de matriz (e forma quadrática) positiva definida: todos os autovalores são positivos e f(\vec{v})>0 para todo \vec{v}\neq\vec{0}. Portanto a alternativa correta é a que afirma que f(\vec{v})>0 para todo \vec{v}\neq\vec{0}.

Resposta

(E)

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