Seja V=P3(R) e considere o produto interno dado por
lang<= f(x), g(x)rang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
Calcule lang<= f(x), g(x)rang<=,||f(x)||,||g(x)|| e d(f(x), g(x)), em cada item abaixo.
f(x)=x^3-x-1 e g(x)=x^2+1

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P3(R) com o produto interno
lang<= f,grang<= = integral0^1 f(x),g(x),dx
e pede:
– o valor de lang<= f,grang<=,
– as normas |f| e |g|,
– e a distância d(f,g).
Aqui vamos usar que
|h| = raizlang<= h,hrang<=
e
d(f,g)=|f-g|,
além de calcular integrais de polinômios no intervalo [0,1].

Passo 2

Para lang<= f,grang<= usamos
lang<= f,grang<= = integral0^1(x^3-x-1)(x^2+1),dx
Multiplicando os polinômios:
(x^3-x-1)(x^2+1) = x^5-x^2-x-1,
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lang<= f,grang<= = integral0^1(x^5-x^2-x-1),dx = l[tfracx^66-tfracx^33-tfracx^22-xr]0^1 = tfrac16-tfrac13-tfrac12-1 = -tfrac53

Passo 3

Para |f| calculamos
|f|^2 = lang<= f,frang<= = integral0^1(x^3-x-1)^2,dx
Expandindo (x^3-x-1)^2 = x^6-2x^4-2x^3+x^2+2x+1 e integrando, obtemos
|f|^2 = integral0^1l(x^6-2x^4-2x^3+x^2+2x+1r),dx = tfrac331210,
portanto
|f| = raiztfrac331210

Passo 4

Para |g| usamos
|g|^2 = integral0^1(x^2+1)^2,dx = integral0^1(x^4+2x^2+1),dx = tfrac2815,
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|g| = raiztfrac2815

Passo 5

Para a distância, definimos h(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2-x-2 e calculamos
d(f,g)^2 = |h|^2 = integral0^1(x^3-x^2-x-2)^2,dx = tfrac1423210,
de onde
d(f,g) = raiztfrac1423210

Resposta

lang<= f,grang<= = -tfrac53, |f| = raiztfrac331210, |g| = raiztfrac2815, d(f,g)=raiztfrac1423210

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