Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{2 x,-x^{2}+x, x^{3}+1, x{3}-x{2}+2\right} \subset P_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
2x,;-x^2+x,;x^3+1,;x^3-x^2+2subset P3(R)
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Como dim P3(R)=4 e temos 4 polinômios, basta mostrar que a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial.

Passo 2

Escrevemos cada polinômio na base e formamos a matriz cujas colunas são os vetores de coordenadas:
onde, em cada coluna, estão os coeficientes de respectivamente para , , e .

Passo 3

Considere a combinação linear
c1,(2x)+c2,(-x^2+x)+c3,(x^3+1)+c4,(x^3-x^2+2)=0
Igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
c3 + 2c4 = 0, 2c1 + c2 = 0, -,c2 - c4 = 0, c3 + c4 = 0

Passo 4

Do quarto e do primeiro equações segue c3 + c4=0 e c3+2c4=0, subtraindo dá c4=0 e então c3=0. Da terceira equação vem c2=0 e da segunda c1=0. Logo a única solução é c1=c2=c3=c4=0.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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