Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{2 x,-x^{2}+x, x^{3}+1, x{3}-x{2}+2\right} \subset P_{3}(\mathbb{R})
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Como e temos 4 polinômios, basta mostrar que a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial.
Passo 2
Escrevemos cada polinômio na base e formamos a matriz cujas colunas são os vetores de coordenadas:
onde, em cada coluna, estão os coeficientes de respectivamente para , , e .
Passo 3
Considere a combinação linear
Igualando coeficientes de cada potência de , obtemos o sistema
Passo 4
Do quarto e do primeiro equações segue c3 + c4=0 e c3+2c4=0, subtraindo dá c4=0 e então c3=0. Da terceira equação vem c2=0 e da segunda c1=0. Logo a única solução é c1=c2=c3=c4=0.