Seja
o operador linear definido por
. Mostre que
, para todo
, mas
.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
por
e pede duas coisas:
- Mostrar que
para todo . - Mostrar que
não é o operador zero .
Para isso vamos usar a definição do produto interno eme, em seguida, encontrar um vetor tal que .
Passo 2
Lembrando que o produto interno usual em
é
tomemos um vetor genérico
. Então
e
Logo, de fato
para todo
.
Passo 3
Para ver que
não é o operador zero, basta encontrar um
tal que
. Por exemplo, escolha
. Então
Isso mostra que
não envia todo vetor em zero, ou seja,
.
Resposta
Mostramos que para todo
vale
, mas existe
(por exemplo
) tal que
. Portanto,
.