Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(y,-x). Mostre que lang<= T(v), vrang<==0, para todo v in R^2, mas T neq 0L(R^2).

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:R^2toR^2 por
T(x,y) = (y,,-x)
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que lang<= T(v),vrang<= = 0 para todo vinR^2.
  2. Mostrar que T não é o operador zero 0L(R^2).
    Para isso vamos usar a definição do produto interno em R^2 e, em seguida, encontrar um vetor v tal que T(v)neq(0,0).

Passo 2

Lembrando que o produto interno usual em R^2 é
lang<= (a,b),(c,d)rang<= = a,c + b,d,
tomemos um vetor genérico v=(x,y). Então
T(v) = (y,-x)
e
lang<= T(v),vrang<= = lang<= (y,-x),(x,y)rang<= = ycdot x + (-x)cdot y = xy - xy = 0
Logo, de fato lang<= T(v),vrang<==0 para todo v.

Passo 3

Para ver que T não é o operador zero, basta encontrar um v tal que T(v)neq(0,0). Por exemplo, escolha v=(1,0). Então
T(1,0) = (0,-1)neq(0,0)
Isso mostra que T não envia todo vetor em zero, ou seja, Tneq 0L(R^2).

Resposta

Mostramos que para todo vinR^2 vale lang<= T(v),vrang<==0, mas existe v (por exemplo v=(1,0)) tal que T(v)neq(0,0). Portanto, Tneq 0L(R^2).

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