Seja f(x, y)=x-2 y e considere uma subdivisão do retângulo R=[0,2] times[0,2] em 16 retângulos menores, como no Exercício 17. Tome (xi^*, yk^*) como sendo o centro do k-ésimo retângulo e aproxime a integral dupla de f em R pela soma de Riemann resultante.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral dupla de
f(x,y)=x-2y
sobre o retângulo
R=[0,2]times[0,2]
usando uma soma de Riemann com subdivisão em 4times4=16 retângulos, tomando como l(xi^*,yk^*r) o centro de cada sub-retângulo.

Passo 2

Cada dimensão de R é de comprimento 2, dividida em 4 partes iguais, logo
De<a x = De<a y = 24 = 0,5
e a área de cada sub-retângulo é
De<a A = De<a x;De<a y = 0,5cdot0,5 = 0,25

Passo 3

Os centros l(xi^*,yk^*r) têm coordenadas
xi^* = (i-1),0,5 + 0,25, yk^* = (k-1),0,5 + 0,25,
para i,k=1,2,3,4. Assim
xi^*=0,25,,0,75,,1,25,,1,75, yk^*=0,25,,0,75,,1,25,,1,75

Passo 4

A soma de Riemann vale
sumi=1^4sumk=1^4 f(xi^*,yk^*),De<a A = De<a A sumi=1^4sumk=1^4l(xi^* - 2,yk^*r)

Passo 5

Calculamos separadamente as somas:
sumi=1^4 xi^* = 0,25+0,75+1,25+1,75 = 4, sumk=1^4 yk^* = 4
Logo
sumi=1^4sumk=1^4 xi^* = 4cdot4 = 16, sumi=1^4sumk=1^42,yk^* = 2cdot(4cdot4) = 32,
e portanto
sumi=1^4sumk=1^4l(xi^* - 2,yk^*r) = 16 - 32 = -16

Passo 6

Multiplicando pelo fator De<a A=0,25, obtemos
0,25cdot(-16) = -4

Resposta

A aproximação da integral dupla por essa soma de Riemann é -4.

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