Seja
uma constante. Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com uma constante:
- Equação:
. - A constante
é dada (assume-se real). - A incógnita é a função
, função de uma variável (usualmente ); significa .
O que o problema pede:
- Encontrar a solução geral
dessa equação diferencial.
Passo 2
Escolha do método: esta equação é linear de primeira ordem e, além disso, é separável (pode-se escrever a derivada em função de
e
de modo a separar variáveis). Vou usar separação de variáveis porque é o caminho mais direto e elementar aqui; outro método equivalente seria o fator integrante, que dá o mesmo resultado.
Passo 3
Escrevendo a derivada de forma explícita:
Isolando a derivada:
Isto significa que a taxa de variação de
é proporcional (com fator
) ao próprio
.
Passo 4
Separação de variáveis: passar todos os termos em
para um lado e os termos em
para o outro:
Observação sobre
: a separação exigiu dividir por
, logo precisamos lembrar da solução constante
(que será obtida automaticamente quando o parâmetro de integração for zero). Depois mostramos que a solução geral inclui esse caso.
Passo 5
Integrar ambos os lados:
As integrais são simples:
onde
é a constante arbitrária de integração. O valor absoluto aparece porque a primitiva de
é
.
Passo 6
Isolar
exponenciando ambos os lados:
Defina
. Então
, o que implica
Como o sinal pode ser absorvido em uma constante arbitrária real, escrevemos a solução geral como
onde
é uma constante real arbitrária. Note que
dá a solução nula
, já contemplada.
Passo 7
Verificação rápida e comentário sobre o caso
:
- Se
a equação vira , cujas soluções são constante. A fórmula com dá , consistente. - Derivando
obtemos e então , confirmando que é solução.