Seja a uma constante. Encontre a solução geral da equação y^{\prime}+a y=0.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com uma constante:
  • Equação: y' + a\,y = 0.
  • A constante a é dada (assume-se real).
  • A incógnita é a função y, função de uma variável (usualmente x); y' significa \dfrac{dy}{dx}.
O que o problema pede:
  • Encontrar a solução geral y(x) dessa equação diferencial.

Passo 2

Escolha do método: esta equação é linear de primeira ordem e, além disso, é separável (pode-se escrever a derivada em função de y e x de modo a separar variáveis). Vou usar separação de variáveis porque é o caminho mais direto e elementar aqui; outro método equivalente seria o fator integrante, que dá o mesmo resultado.

Passo 3

Escrevendo a derivada de forma explícita:
\frac{dy}{dx} + a\,y = 0.
Isolando a derivada:
\frac{dy}{dx} = -a\,y.
Isto significa que a taxa de variação de y é proporcional (com fator -a) ao próprio y.

Passo 4

Separação de variáveis: passar todos os termos em y para um lado e os termos em x para o outro:
\frac{1}{y}\,dy = -a\,dx.
Observação sobre y=0: a separação exigiu dividir por y, logo precisamos lembrar da solução constante y\equiv0 (que será obtida automaticamente quando o parâmetro de integração for zero). Depois mostramos que a solução geral inclui esse caso.

Passo 5

Integrar ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -a\,dx.
As integrais são simples:
\ln|y| = -a x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. O valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/y é \ln|y|.

Passo 6

Isolar y exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C} e^{-a x}.
Defina C_1 = e^{C}>0. Então |y| = C_1 e^{-a x}, o que implica
y = \pm C_1 e^{-a x}.
Como o sinal pode ser absorvido em uma constante arbitrária real, escrevemos a solução geral como
y(x) = C\,e^{-a x},
onde C é uma constante real arbitrária. Note que C=0 dá a solução nula y\equiv0, já contemplada.

Passo 7

Verificação rápida e comentário sobre o caso a=0:
  • Se a=0 a equação vira y'=0, cujas soluções são y= constante. A fórmula y(x)=C e^{-a x} com a=0 y(x)=C, consistente.
  • Derivando y(x)=C e^{-a x} obtemos y'=-aC e^{-a x} e então y'+a y = -aC e^{-a x} + a(C e^{-a x})=0, confirmando que é solução.

Resposta

y(x)=C\,e^{-a x}, com C\in\mathbb{R}.

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