Seja
uma constante. Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com
constante:
O que se pede é a solução geral
dessa equação, ou seja, todas as funções
que satisfazem a igualdade para todo
. As informações relevantes são:
-
é uma constante (pode ser qualquer número real). - O termo não-homogêneo é
(vou usar a notação padrão na matemática). - Queremos a solução geral, portanto deve aparecer uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Vou transformar a equação na forma padrão e explicar o método do fator integrante (integrating factor), passo a passo e bem mastigado.
A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
Aqui temos
(constante) e
. O fator integrante
é definido por
Esse fator tem a propriedade útil que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo fica como derivada de um produto: mais precisamente
Se
, então
. Por isso escolhemos
.
No nosso caso
, logo
Explico o que significa cada coisa:
-
é a derivada de em relação a . -
é uma constante (coeficiente). -
é o fator que “torna” o lado esquerdo uma derivada exata de . -
que vai aparecer depois é a constante arbitrária de integração.
Passo 3
Multiplico a equação original por
. Isso nos dá
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada:
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Restou então calcular a integral
Passo 4
Vou calcular
por partes, explicando cada escolha. A fórmula de integração por partes é
Escolho
(então
) e
(então
se
). Para não perder a validade para
, mais adiante tratamos esse caso separadamente; por enquanto suponho
qualquer número e usarei a expressão obtida, que depois verificarei que vale também para
.
Aplicando integração por partes:
onde defini
.
Agora calculo
por partes também: escolho
(
) e
(
). Assim
Passo 5
Agora resolvo o sistema formado pelas expressões de
e
. Reescrevendo:
Substituo a expressão de
na primeira:
Desenvolvendo:
Agrupo os termos com
:
Como
, obtemos
Note que aqui simplifiquei fatores comuns. Portanto a integral que precisamos vale (mais uma constante, que já está representada pelo
que adicionamos antes).
Passo 6
Voltando à expressão para
:
Dividindo por
obtemos a solução geral
onde
é constante arbitrária real.
Passo 7
Verificação e comentário sobre o caso
. Se
a equação original é
, cuja antiderivada é
. Substituindo
na solução encontrada:
obtemos exatamente a solução esperada. Portanto a expressão obtida é válida para qualquer
.
Passo 8
Breve verificação por derivação (rápida): derivando
e substituindo em
resulta em
. Isso confirma que a solução é correta (pular os detalhes algébricos aqui para não alongar demais, mas a verificação é direta: deriva-se termo a termo usando produto/chain rule e simplifica-se).