Seja a uma constante. Encontre a solução geral da equação y^{\prime}+a y= \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com a constante:
y'(x) + a\,y(x) = \operatorname{sen}(x).
O que se pede é a solução geral y(x) dessa equação, ou seja, todas as funções y que satisfazem a igualdade para todo x. As informações relevantes são:
  • a é uma constante (pode ser qualquer número real).
  • O termo não-homogêneo é \operatorname{sen}(x) (vou usar a notação padrão \sin x na matemática).
  • Queremos a solução geral, portanto deve aparecer uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Vou transformar a equação na forma padrão e explicar o método do fator integrante (integrating factor), passo a passo e bem mastigado.
A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
y'(x) + p(x)\,y(x) = q(x).
Aqui temos p(x)=a (constante) e q(x)=\sin x. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.
Esse fator tem a propriedade útil que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo fica como derivada de um produto: mais precisamente
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big) = \mu(x)\,y'(x) + \mu'(x)\,y(x).
Se \mu'(x)=\mu(x)p(x), então \mu(x)\,y'(x)+\mu(x)p(x)y(x)=\frac{d}{dx}(\mu y). Por isso escolhemos \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
No nosso caso p(x)=a, logo
\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{ax}.
Explico o que significa cada coisa:
  • y'(x) é a derivada de y em relação a x.
  • a é uma constante (coeficiente).
  • \mu(x)=e^{ax} é o fator que “torna” o lado esquerdo uma derivada exata de \mu y.
  • C que vai aparecer depois é a constante arbitrária de integração.

Passo 3

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{ax}. Isso nos dá
e^{ax}y'(x) + a e^{ax} y(x) = e^{ax}\sin x.
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{ax}y(x)\big) = e^{ax}\sin x.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
e^{ax}y(x) = \int e^{ax}\sin x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Restou então calcular a integral
I=\int e^{ax}\sin x\,dx.

Passo 4

Vou calcular I=\int e^{ax}\sin x\,dx por partes, explicando cada escolha. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=\sin x (então du=\cos x\,dx) e dv=e^{ax}\,dx (então v=\dfrac{1}{a}e^{ax} se a\neq 0). Para não perder a validade para a=0, mais adiante tratamos esse caso separadamente; por enquanto suponho a qualquer número e usarei a expressão obtida, que depois verificarei que vale também para a=0.
Aplicando integração por partes:
I = \sin x\cdot\frac{e^{ax}}{a} - \int \frac{e^{ax}}{a}\cos x\,dx = \frac{e^{ax}}{a}\sin x - \frac{1}{a}J,
onde defini J=\int e^{ax}\cos x\,dx.
Agora calculo J por partes também: escolho u=\cos x ( du=-\sin x\,dx) e dv=e^{ax}\,dx ( v=\frac{e^{ax}}{a}). Assim
J = \cos x\cdot\frac{e^{ax}}{a} - \int \frac{e^{ax}}{a}(-\sin x)\,dx = \frac{e^{ax}}{a}\cos x + \frac{1}{a}I.

Passo 5

Agora resolvo o sistema formado pelas expressões de I e J. Reescrevendo:
I = \frac{e^{ax}}{a}\sin x - \frac{1}{a}J,
J = \frac{e^{ax}}{a}\cos x + \frac{1}{a}I.
Substituo a expressão de J na primeira:
I = \frac{e^{ax}}{a}\sin x - \frac{1}{a}\Big(\frac{e^{ax}}{a}\cos x + \frac{1}{a}I\Big).
Desenvolvendo:
I = \frac{e^{ax}}{a}\sin x - \frac{e^{ax}}{a^2}\cos x - \frac{1}{a^2}I.
Agrupo os termos com I:
I + \frac{1}{a^2}I = \frac{e^{ax}}{a}\sin x - \frac{e^{ax}}{a^2}\cos x.
\Big(1+\frac{1}{a^2}\Big)I = e^{ax}\Big(\frac{1}{a}\sin x - \frac{1}{a^2}\cos x\Big).
Como 1+\frac{1}{a^2}=\frac{a^2+1}{a^2}, obtemos
I = e^{ax}\,\frac{a\sin x - \cos x}{a^2+1}.
Note que aqui simplifiquei fatores comuns. Portanto a integral que precisamos vale (mais uma constante, que já está representada pelo C que adicionamos antes).

Passo 6

Voltando à expressão para y:
e^{ax}y(x)=I + C = e^{ax}\,\frac{a\sin x - \cos x}{a^2+1} + C.
Dividindo por e^{ax} obtemos a solução geral
y(x)=\frac{a\sin x - \cos x}{a^2+1} + C e^{-ax},
onde C é constante arbitrária real.

Passo 7

Verificação e comentário sobre o caso a=0. Se a=0 a equação original é y'=\sin x, cuja antiderivada é y=-\cos x + C. Substituindo a=0 na solução encontrada:
\frac{0\cdot\sin x - \cos x}{0^2+1} + C e^{0} = -\cos x + C,
obtemos exatamente a solução esperada. Portanto a expressão obtida é válida para qualquer a\in\mathbb{R}.

Passo 8

Breve verificação por derivação (rápida): derivando
y(x)=\frac{a\sin x - \cos x}{a^2+1} + C e^{-ax}
e substituindo em y'+ay resulta em \sin x. Isso confirma que a solução é correta (pular os detalhes algébricos aqui para não alongar demais, mas a verificação é direta: deriva-se termo a termo usando produto/chain rule e simplifica-se).

Resposta

y(x)=\frac{a\sin x - \cos x}{a^2+1} + C e^{-ax},\qquad C\in\mathbb{R}.

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