Seja
uma constante. Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
onde
é uma constante (pode ser qualquer número real) e
é a função desconhecida. O pedido é: encontrar a solução geral
dessa equação, isto é, a família de funções que satisfazem a equação para todo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear e de primeira ordem: a incógnita aparece como
e (não aparecem potências ou produtos não lineares de ). - A função do lado direito é
. - A constante
pode tomar valores que tornam alguns passos especiais (em particular, pode acontecer ). Vou tratar esse caso separadamente se necessário.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
Para equações lineares de primeira ordem da forma
Para equações lineares de primeira ordem da forma
um método padrão e simples é usar um fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Isso facilita porque então podemos integrar dos dois lados e resolver para
.
Explicando a construção do fator integrante:
- Queremos
tal que
- Usando a regra do produto,
. Para que isso seja igual a precisamos que . - A equação
é separável e tem solução (multiplicando por constante multiplicativa que pode ser absorvida depois).
No nosso caso
é constante, então o fator integrante fica simples.
Passo 3
Calcular o fator integrante para este problema:
Como , temos
Como
Esse é o fator que vamos multiplicar na equação original.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e escrever o lado esquerdo como derivada:
Multiplicando ambos os lados da equação por obtemos
Multiplicando ambos os lados da equação por
Pelo que vimos, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Assim chegamos à equação mais simples
Passo 5
Integrar ambos os lados — caso geral
:
Integramos em :
Integramos em
onde
é a constante de integração. Se
, a primitiva de
é
. Portanto, para
temos
Agora isolamos
multiplicando por
:
Simplificando
, obtemos a solução geral para
:
onde
é qualquer constante real.
Passo 6
Tratar o caso especial
:
Quando a expressão
é zero e a integração do passo anterior exige cuidado (não podemos dividir por zero). Voltemos à equação integrada:
Quando
Se
então
, logo
Multiplicando por
obtemos
que é a solução geral quando
.
Passo 7
Verificação (curta) e interpretação:
- Para
a solução proposta é . Se você diferenciar e substituir na equação original verá que a igualdade se mantém (fácil exercício: calcule e confira). - Para
a solução também verifica a equação (pode conferir diferenciando: e então ).
Pequena intuição: a solução é a soma de uma solução particular (uma função específica que resolve a equação não homogênea) e da solução geral da equação homogênea associada
, que é
. No caso
a solução particular toma a forma
por causa da “ressonância” entre o termo não homogêneo
e a solução da homogênea
.