Seja a uma constante. Encontre a solução geral da equação y^{\prime}+a y=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
y'+a y = e^{x},
onde a é uma constante (pode ser qualquer número real) e y=y(x) é a função desconhecida. O pedido é: encontrar a solução geral y(x) dessa equação, isto é, a família de funções que satisfazem a equação para todo x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear e de primeira ordem: a incógnita aparece como y' e y (não aparecem potências ou produtos não lineares de y).
  • A função do lado direito é e^{x}.
  • A constante a pode tomar valores que tornam alguns passos especiais (em particular, pode acontecer a=-1). Vou tratar esse caso separadamente se necessário.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
Para equações lineares de primeira ordem da forma
y'+p(x)\,y = q(x),
um método padrão e simples é usar um fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). Isso facilita porque então podemos integrar dos dois lados e resolver para y.
Explicando a construção do fator integrante:
  • Queremos \mu(x) tal que
\mu(x)\bigl(y'+p(x)y\bigr) = \bigl(\mu(x)y\bigr)'.
  • Usando a regra do produto, \bigl(\mu y\bigr)' = \mu y' + \mu' y. Para que isso seja igual a \mu(y'+p y) precisamos que \mu' = \mu p.
  • A equação \mu' = p\mu é separável e tem solução \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} (multiplicando por constante multiplicativa que pode ser absorvida depois).
No nosso caso p(x)=a é constante, então o fator integrante fica simples.

Passo 3

Calcular o fator integrante para este problema:
Como p(x)=a, temos
\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{a x}.
Esse é o fator que vamos multiplicar na equação original.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=e^{a x} e escrever o lado esquerdo como derivada:
Multiplicando ambos os lados da equação por e^{a x} obtemos
e^{a x}y' + a e^{a x}y = e^{a x} e^{x}.
Pelo que vimos, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{a x} y\bigr)' = e^{a x} e^{x} = e^{(a+1)x}.
Assim chegamos à equação mais simples
\bigl(e^{a x} y\bigr)' = e^{(a+1)x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados — caso geral a\neq -1:
Integramos em x:
e^{a x} y = \int e^{(a+1)x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Se a\neq -1, a primitiva de e^{(a+1)x} é \dfrac{e^{(a+1)x}}{a+1}. Portanto, para a\neq -1 temos
e^{a x} y = \frac{e^{(a+1)x}}{a+1} + C.
Agora isolamos y multiplicando por e^{-a x}:
y = \frac{e^{(a+1)x}}{a+1}\,e^{-a x} + C e^{-a x}.
Simplificando e^{(a+1)x}e^{-a x}=e^{x}, obtemos a solução geral para a\neq -1:
y(x) = \frac{e^{x}}{a+1} + C e^{-a x},
onde C é qualquer constante real.

Passo 6

Tratar o caso especial a=-1:
Quando a=-1 a expressão a+1 é zero e a integração do passo anterior exige cuidado (não podemos dividir por zero). Voltemos à equação integrada:
e^{a x} y = \int e^{(a+1)x}\,dx + C.
Se a=-1 então e^{(a+1)x}=e^{0}=1, logo
e^{-x} y = \int 1\,dx + C = x + C.
Multiplicando por e^{x} obtemos
y(x) = e^{x}(x + C) = x e^{x} + C e^{x},
que é a solução geral quando a=-1.

Passo 7

Verificação (curta) e interpretação:
  • Para a\neq -1 a solução proposta é y=\dfrac{e^{x}}{a+1}+C e^{-a x}. Se você diferenciar e substituir na equação original verá que a igualdade se mantém (fácil exercício: calcule y' e confira).
  • Para a=-1 a solução y=x e^{x}+C e^{x} também verifica a equação (pode conferir diferenciando: y' = e^{x}(x+C)+e^{x}=e^{x}(x+C+1) e então y'-y=e^{x}).
Pequena intuição: a solução é a soma de uma solução particular (uma função específica que resolve a equação não homogênea) e da solução geral da equação homogênea associada y'+a y=0, que é C e^{-a x}. No caso a=-1 a solução particular toma a forma x e^{x} por causa da “ressonância” entre o termo não homogêneo e^{x} e a solução da homogênea e^{-a x}=e^{x}.

Resposta

\text{Se }a\neq -1:\quad y(x)=\frac{e^{x}}{a+1}+C e^{-a x}.
\text{Se }a=-1:\quad y(x)=x e^{x}+C e^{x}.

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