Seja
uma constante. Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com
constante:
Informações e o que é pedido:
- Dado: a constante
(valor fixo, pode ser zero ou não). - Dado: o termo não homogêneo
exige que se considere (pois só está definido real para ). - Pedido: encontrar a solução geral
da equação em termos de (ou separar o caso se necessário). - Resultado esperado: expressão de
contendo a constante de integração.
Passo 2
Breve explicação do método que será usado (integradora):
Para equações da forma
Para equações da forma
usa-se o fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtém-se um lado esquerdo que é a derivada de
, ou seja,
Integrando ambos os lados:
e então
Isto fornece uma fórmula geral prática para resolver ODEs lineares de primeira ordem.
Passo 3
Aplicando o método ao nosso caso: aqui
(constante) e
. Calculamos o fator integrante:
Observação:
para todo
, portanto não há problema em dividir por
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo,
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Portanto
O passo seguinte é calcular a integral
. Note que este cálculo precisa separar os casos
e
.
Passo 6
Caso
: calcular
por partes. Tome
-
, -
.
Pela fórmula de integração por partes,
A integral remanescente
não se expressa por funções elementares; é dada pela função especial conhecida como integral exponencial. Definindo a função
(uma definição padrão da função integral exponencial, com a observação sobre ramo e constantes de integração), tem-se, mudando variável
,
(Para nosso uso basta saber que essa integral pode ser escrita como
até uma constante.)
Substituindo de volta:
Passo 7
Voltando para
(lembrando de incluir a constante
já presente em
):
Dividindo por
:
que é a solução geral para
. Aqui
é a constante arbitrária real e a expressão é válida para
.
Passo 8
Caso
: a equação original fica
Integramos diretamente:
Calculando a integral por partes (ou lembrando a primitiva conhecida):
portanto
válido para
.
Passo 9
Resumo das duas situações e observações finais:
- Sempre lembrar que a equação exige
por causa de . - Para
a solução envolve a função especial . Para a solução é elementar. - A constante
representa a família de soluções gerais.
Resposta
Para
:
Para
: