Seja a uma constante. Encontre a solução geral da equação y^{\prime}+a y= \ln (x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com a constante:
y'+a y=\ln(x).
Informações e o que é pedido:
  • Dado: a constante \;a\; (valor fixo, pode ser zero ou não).
  • Dado: o termo não homogêneo \;\ln(x)\; exige que se considere x>0 (pois \ln(x) só está definido real para x>0).
  • Pedido: encontrar a solução geral y(x) da equação em termos de a (ou separar o caso a=0 se necessário).
  • Resultado esperado: expressão de y(x) contendo a constante de integração.

Passo 2

Breve explicação do método que será usado (integradora):
Para equações da forma
y'+p(x)y=q(x)
usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se um lado esquerdo que é a derivada de \mu(x)y, ou seja,
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)q(x).
Integrando ambos os lados:
\mu(x)y=\int \mu(x)q(x)\,dx + C,
e então
y=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\right).
Isto fornece uma fórmula geral prática para resolver ODEs lineares de primeira ordem.

Passo 3

Aplicando o método ao nosso caso: aqui p(x)=a (constante) e q(x)=\ln(x). Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{a x}.
Observação: \mu(x)>0 para todo x, portanto não há problema em dividir por \mu.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{a x}. Obtemos:
e^{a x}y' + a e^{a x} y = e^{a x}\ln(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{a x}y. Logo,
\big(e^{a x}y\big)' = e^{a x}\ln(x).

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{a x}y = \int e^{a x}\ln(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
y = e^{-a x}\left(\int e^{a x}\ln(x)\,dx + C\right).
O passo seguinte é calcular a integral \int e^{a x}\ln(x)\,dx. Note que este cálculo precisa separar os casos a\neq 0 e a=0.

Passo 6

Caso a\neq 0: calcular \displaystyle \int e^{a x}\ln(x)\,dx por partes. Tome
  • u=\ln(x) \Rightarrow du=\dfrac{1}{x}\,dx,
  • dv=e^{a x}\,dx \Rightarrow v=\dfrac{1}{a}e^{a x}.
Pela fórmula de integração por partes,
\int e^{a x}\ln(x)\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}\ln(x) - \frac{1}{a}\int \frac{e^{a x}}{x}\,dx.
A integral remanescente \displaystyle \int \frac{e^{a x}}{x}\,dx não se expressa por funções elementares; é dada pela função especial conhecida como integral exponencial. Definindo a função
\operatorname{Ei}(u)=\int_{-\infty}^{u}\frac{e^{t}}{t}\,dt
(uma definição padrão da função integral exponencial, com a observação sobre ramo e constantes de integração), tem-se, mudando variável t=a x,
\int \frac{e^{a x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(a x) + \text{const}.
(Para nosso uso basta saber que essa integral pode ser escrita como \operatorname{Ei}(a x) até uma constante.)
Substituindo de volta:
\int e^{a x}\ln(x)\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}\ln(x) - \frac{1}{a}\operatorname{Ei}(a x) + \text{const}.

Passo 7

Voltando para y (lembrando de incluir a constante C já presente em e^{a x}y=\int+\;C):
e^{a x}y = \frac{1}{a}e^{a x}\ln(x) - \frac{1}{a}\operatorname{Ei}(a x) + C.
Dividindo por e^{a x}:
y = \frac{1}{a}\ln(x) - \frac{1}{a}e^{-a x}\operatorname{Ei}(a x) + C e^{-a x},
que é a solução geral para a\neq 0. Aqui C é a constante arbitrária real e a expressão é válida para x>0.

Passo 8

Caso a=0: a equação original fica
y' = \ln(x).
Integramos diretamente:
y=\int \ln(x)\,dx + C.
Calculando a integral por partes (ou lembrando a primitiva conhecida):
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x,
portanto
y = x\ln(x) - x + C,
válido para x>0.

Passo 9

Resumo das duas situações e observações finais:
  • Sempre lembrar que a equação exige x>0 por causa de \ln(x).
  • Para a\neq 0 a solução envolve a função especial \operatorname{Ei}. Para a=0 a solução é elementar.
  • A constante C representa a família de soluções gerais.

Resposta

Para a\neq 0:
y(x)=\frac{1}{a}\ln(x)-\frac{1}{a}e^{-a x}\operatorname{Ei}(a x)+C e^{-a x},\qquad x>0.
Para a=0:
y(x)=x\ln(x)-x+C,\qquad x>0.

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