(a) Seja X uma v.a contínua com função de distribuiçao F estritamente crescente. Mostre que a v.a Y=F(X) tem distribuição U[0,1].

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz o seguinte: temos uma variável aleatória contínua Y = F(X), com função de distribuição estritamente crescente. A gente precisa mostrar que, se definirmos
então segue uma distribuição uniforme no intervalo , ou seja .
Conteúdo envolvido:
  • O que é função de distribuição cumulativa (CDF) de uma v.a. contínua.
  • Propriedade de inversão de uma função estritamente crescente.
  • Como calcular a CDF de uma transformação de variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, lembra que a função de distribuição de qualquer v.a. FY(y) = P(Y <= y) é
FY(y) = Pl(F(X) <= yr)
Então, para entender que distribuição tem, o lance é achar
Isso é o ponto de partida: queremos expressar esse evento em termos de .

Passo 3

Como X <= F^-1(y) é estritamente crescente, ela admite inversa no intervalo . Logo, o evento é equivalente a
Explicando com calma: se uma função é estritamente crescente, então ordenar é o mesmo que ordenar .

Passo 4

Agora usamos a CDF de Pl(X <= F^-1(y)r) ;=; Fl(F^-1(y)r) . Pela definição,
Fl(F^-1(y)r) = y,
Mas, de novo, como e são funções inversas (numa faixa onde varia de 0 a 1), temos
para todo .

Passo 5

Juntando tudo, para FY(y) = Pl(F(X)<= yr) = Pl(X<= F^-1(y)r) = Fl(F^-1(y)r) = y :
E, fora desse intervalo, se e se .

Resposta

Como a função de distribuição de FY(y)= 0, & y<0, y, & 0<= y<=1, 1, & y>1, é
concluímos que .

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