(a) Seja uma v.a contínua com função de distribuiçao estritamente crescente. Mostre que a v.a tem distribuição .
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz o seguinte: temos uma variável aleatória contínua com função de distribuição estritamente crescente. A gente precisa mostrar que, se definirmos
então segue uma distribuição uniforme no intervalo , ou seja .
Conteúdo envolvido:
O que é função de distribuição cumulativa (CDF) de uma v.a. contínua.
Propriedade de inversão de uma função estritamente crescente.
Como calcular a CDF de uma transformação de variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, lembra que a função de distribuição de qualquer v.a. é
Então, para entender que distribuição tem, o lance é achar
Isso é o ponto de partida: queremos expressar esse evento em termos de .
Passo 3
Como é estritamente crescente, ela admite inversa no intervalo . Logo, o evento é equivalente a
Explicando com calma: se uma função é estritamente crescente, então ordenar é o mesmo que ordenar .
Passo 4
Agora usamos a CDF de . Pela definição,
Mas, de novo, como e são funções inversas (numa faixa onde varia de 0 a 1), temos