Seja . Determine a função de distribuição e a densidade de: .
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é: temos uma variável aleatória Θ que é uniforme no intervalo . A questão pede para achar a função de distribuição (CDF) e a densidade (PDF) de .
Conteúdo envolvido:
Distribuição uniforme
Transformação de variável aleatória (quando a função é monótona)
Como passar da CDF para a PDF (derivação)
Para resolver vamos precisar:
Saber a densidade de Θ (já que é uniforme).
Usar a propriedade de funções monótonas pra achar a CDF de Y.
Derivar a CDF para obter a densidade de Y.
Passo 2
Primeiro, anota a densidade de Θ. Como Θ é uniforme em , temos
Explicando: o comprimento do intervalo é , então a densidade é dentro dele.
Passo 3
Agora vamos à CDF de , isto é
Como é crescente em , podemos inverter a desigualdade usando . Fica:
Note que só faz sentido na faixa , fora disso o CDF já é 0 ou 1.
Passo 4
Como Θ é uniforme:
Substituindo FY(y) = 0, & y < -1,[6pt] arcsin(y) - l(-tfracπ2r)π = arcsin(y)+tfracπ2π, & -1 ≤ y ≤ 1,[8pt] 1, & y > 1 (e lembrando que cai em para ), a CDF de Y fica
[
F_Y(y)
]
Passo 5
Pra achar a densidade fY(y) = ddyFY(y) = ddyl(arcsin(y)+π/2πr) = 1π,ddyarcsin(y) = 1πcdot1raiz1-y^2 , vamos derivar em :
E fora de a densidade é zero.
Resposta
CDF de FY(y) = 0, & y < -1,[4pt] arcsin(y)+tfracπ2π, & -1 ≤ y ≤ 1,[6pt] 1, & y > 1 :
[
F_Y(y)
fY(y) = dfrac1πraiz1-y^2, & -1 < y < 1, 0, & caso contrário
]
PDF de :
[
f_Y(y)