Seja Theta sim U[-pi / 2, pi / 2]. Determine a função de distribuição e a densidade de:
Y=sen(Theta).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é: temos uma variável aleatória Θ que é uniforme no intervalo . A questão pede para achar a função de distribuição (CDF) e a densidade (PDF) de .
Conteúdo envolvido:
  • Distribuição uniforme
  • Transformação de variável aleatória (quando a função é monótona)
  • Como passar da CDF para a PDF (derivação)
Para resolver vamos precisar:
  1. Saber a densidade de Θ (já que é uniforme).
  2. Usar a propriedade de funções monótonas pra achar a CDF de Y.
  3. Derivar a CDF para obter a densidade de Y.

Passo 2

Primeiro, anota a densidade de Θ. Como Θ é uniforme em fΘ(θ) ;=; 1pi, & -π2 ≤ θ ≤ π2, 0, & caso contrário , temos
á
Explicando: o comprimento do intervalo é , então a densidade é dentro dele.

Passo 3

Agora vamos à CDF de FY(y) ;=; P(Y ≤ y) ;=; Pl(sin(Θ) ≤ yr) , isto é
Pl(sin(Θ) ≤ yr) ;=; Pl(Θ ≤ arcsin(y)r)
Como é crescente em , podemos inverter a desigualdade usando . Fica:
Note que só faz sentido na faixa , fora disso o CDF já é 0 ou 1.

Passo 4

Como Θ é uniforme:
P(Θ ≤ x) ;=; 0, & x < -π2, x - (-π/2)π, & -π2 ≤ x ≤ π2, 1, & x > π2
Substituindo FY(y) = 0, & y < -1,[6pt] arcsin(y) - l(-tfracπ2r)π = arcsin(y)+tfracπ2π, & -1 ≤ y ≤ 1,[8pt] 1, & y > 1 (e lembrando que cai em para ), a CDF de Y fica
[
F_Y(y)


]

Passo 5

Pra achar a densidade fY(y) = ddyFY(y) = ddyl(arcsin(y)+π/2πr) = 1π,ddyarcsin(y) = 1πcdot1raiz1-y^2 , vamos derivar em :
E fora de a densidade é zero.

Resposta

CDF de FY(y) = 0, & y < -1,[4pt] arcsin(y)+tfracπ2π, & -1 ≤ y ≤ 1,[6pt] 1, & y > 1 :
[
F_Y(y)

fY(y) = dfrac1πraiz1-y^2, & -1 < y < 1, 0, & caso contrário
]
PDF de :
[
f_Y(y)

á
]

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