Seja X sim Gama(alpha, lambda). Determine a densidade de
Y=raizX.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a densidade de probabilidade de $ Y = \sqrt{X} $, onde $ X $ segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha $ e $ \lambda $. Então, vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias e trabalhar com a função de densidade da distribuição Gama.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de densidade da distribuição Gama. Se $ X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) $, então a densidade de $ X $ é dada por:
X sim Gama(alpha, lambda)
Aqui, $ \Gamma(\alpha) $ é a função gama, que generaliza o fatorial.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a densidade de $ Y = \sqrt{X} $. Para isso, precisamos expressar $ X $ em termos de $ Y $. Se $ Y = \sqrt{X} $, então:
Y = raizX

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada de $ X $ em relação a $ Y $, ou seja, $ \frac{dX}{dY} $:
X

Passo 5

Utilizaremos a fórmula de transformação de variáveis para encontrar a densidade de $ Y $. A fórmula geral é:
Y
Onde $ g(y) $ é a função que relaciona $ Y $ a $ X $. No nosso caso, $ g(y) = y^2 $, então:
fY(y) = fX(g(y)) | dg(y)dy |

Passo 6

Agora, substituímos $ f_X(y^2) $ na expressão acima usando a densidade da distribuição Gama:
fX(y^2)
Simplificando $ (y2){\alpha - 1} $:
fY(y) = lambda^alphaGamma(alpha) (y^2)^alpha - 1 e^-lambda y^2 cdot 2y

Passo 7

Agora, multiplicamos tudo:
fY(y) = lambda^alphaGamma(alpha) y^2alpha - 2 e^-lambda y^2 cdot 2y = 2lambda^alphaGamma(alpha) y^2alpha - 1 e^-lambda y^2

Resposta

A densidade de $ Y = \sqrt{X} $ é:
Y = raizX

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