Seja
. Determine a densidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a densidade de probabilidade de $ Y = \sqrt{X} $, onde $ X $ segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha $ e $ \lambda $. Então, vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias e trabalhar com a função de densidade da distribuição Gama.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de densidade da distribuição Gama. Se $ X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) $, então a densidade de $ X $ é dada por:
Aqui, $ \Gamma(\alpha) $ é a função gama, que generaliza o fatorial.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a densidade de $ Y = \sqrt{X} $. Para isso, precisamos expressar $ X $ em termos de $ Y $. Se $ Y = \sqrt{X} $, então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada de $ X $ em relação a $ Y $, ou seja, $ \frac{dX}{dY} $:
Passo 5
Utilizaremos a fórmula de transformação de variáveis para encontrar a densidade de $ Y $. A fórmula geral é:
Onde $ g(y) $ é a função que relaciona $ Y $ a $ X $. No nosso caso, $ g(y) = y^2 $, então:
Passo 6
Agora, substituímos $ f_X(y^2) $ na expressão acima usando a densidade da distribuição Gama:
Simplificando $ (y2){\alpha - 1} $:
Passo 7
Agora, multiplicamos tudo:
Resposta
A densidade de $ Y = \sqrt{X} $ é: