Sejam X e Y v.a.s independentes tais que X sim Gama(alpha1, lambda) e Y sim Gama(alpha2, lambda). Considere Z=YX.
Determine para quais valores de alpha1 e alpha2 teremos E Z finita e calcule E Z neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística envolvendo variáveis aleatórias (v.a.s) que seguem a distribuição Gama. Temos duas v.a.s independentes, $ X $ e $ Y $, com $ X \sim Gama(\alpha_1, \lambda) $ e $ Y \sim Gama(\alpha_2, \lambda) $. A gente define $ Z = \frac{Y}{X} $ e precisa descobrir para quais valores de $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $ a expectativa $ E[Z] $ é finita e, se for o caso, calcular $ E[Z] $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição Gama. Uma variável aleatória $ V $ que segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha $ e $ \lambda $, ou seja, $ V \sim Gama(\alpha, \lambda) $, tem a função densidade dada por:
V
Aqui, $ \Gamma(\alpha) $ é a função gama, que generaliza o fatorial.

Passo 3

Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a distribuição conjunta deles é o produto das distribuições individuais. Queremos achar $ E\left[\frac{Y}{X}\right] $. Podemos usar a definição de valor esperado para duas variáveis independentes:
X

Passo 4

Vamos simplificar essa integral. Substituindo as funções densidade de $ X $ e $ Y $:
X
Simplificando os termos:
Y

Passo 5

Vamos lembrar que:
integral0^infty v^k e^-lambda v , dv = Gamma(k + 1)lambda^k + 1
Aplicando isso às integrais que temos:
Para a integral em $ x $:
x
E para a integral em $ y $:
integral0^infty x^alpha1 - 2 e^-lambda x , dx = Gamma(alpha1 - 1)lambda^alpha1 - 1

Passo 6

Substituindo essas integrais na expressão de $ E\left[\frac{Y}{X}\right] $:
E[YX]
Simplificando os termos de $ \lambda $:
E[YX] = lambda^alpha1 + alpha2Gamma(alpha1)Gamma(alpha2) cdot Gamma(alpha1 - 1)lambda^alpha1 - 1 cdot Gamma(alpha2 + 1)lambda^alpha2 + 1
Então, a expressão fica:
lambda

Passo 7

Agora, vamos usar a propriedade da função gama que diz $ \Gamma(k + 1) = k\Gamma(k) $. Aplicando isso:
Gamma(k + 1) = kGamma(k)
Gamma(alpha1 - 1) = Gamma(alpha1)alpha1 - 1
Substituindo na expressão de $ E[Z] $:
Gamma(alpha2 + 1) = alpha2 Gamma(alpha2)

Passo 8

Mas atenção! Para que todas as etapas acima façam sentido, precisamos que as funções gama sejam definidas. Ou seja:
  • $ \Gamma(\alpha_1 - 1) $ existe se $ \alpha_1 - 1 > 0 $, ou seja, $ \alpha_1 > 1 $.
Se $ \alpha_1 \leq 1 $, a função $ \Gamma(\alpha_1 - 1) $ não está definida, o que significa que $ E[Z] $ não é finita.

Resposta

O valor esperado $ E[Z] $ é finito se e somente se $ \alpha_1 > 1 $. Quando essa condição é satisfeita, temos:
E[Z]

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