Sejam
e
v.a.s independentes tais que
e
. Considere
.
Determine para quais valores de
e
teremos
finita e calcule
neste caso.
Determine para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística envolvendo variáveis aleatórias (v.a.s) que seguem a distribuição Gama. Temos duas v.a.s independentes, $ X $ e $ Y $, com $ X \sim Gama(\alpha_1, \lambda) $ e $ Y \sim Gama(\alpha_2, \lambda) $. A gente define $ Z = \frac{Y}{X} $ e precisa descobrir para quais valores de $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $ a expectativa $ E[Z] $ é finita e, se for o caso, calcular $ E[Z] $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição Gama. Uma variável aleatória $ V $ que segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha $ e $ \lambda $, ou seja, $ V \sim Gama(\alpha, \lambda) $, tem a função densidade dada por:
Aqui, $ \Gamma(\alpha) $ é a função gama, que generaliza o fatorial.
Passo 3
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a distribuição conjunta deles é o produto das distribuições individuais. Queremos achar $ E\left[\frac{Y}{X}\right] $. Podemos usar a definição de valor esperado para duas variáveis independentes:
Passo 4
Vamos simplificar essa integral. Substituindo as funções densidade de $ X $ e $ Y $:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos lembrar que:
Aplicando isso às integrais que temos:
Para a integral em $ x $:
E para a integral em $ y $:
Passo 6
Substituindo essas integrais na expressão de $ E\left[\frac{Y}{X}\right] $:
Simplificando os termos de $ \lambda $:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos usar a propriedade da função gama que diz $ \Gamma(k + 1) = k\Gamma(k) $. Aplicando isso:
Substituindo na expressão de $ E[Z] $:
Passo 8
Mas atenção! Para que todas as etapas acima façam sentido, precisamos que as funções gama sejam definidas. Ou seja:
- $ \Gamma(\alpha_1 - 1) $ existe se $ \alpha_1 - 1 > 0 $, ou seja, $ \alpha_1 > 1 $.
Se $ \alpha_1 \leq 1 $, a função $ \Gamma(\alpha_1 - 1) $ não está definida, o que significa que $ E[Z] $ não é finita.
Resposta
O valor esperado $ E[Z] $ é finito se e somente se $ \alpha_1 > 1 $. Quando essa condição é satisfeita, temos: