Seja ( a, b ) as coordenadas do vértice da parábola y=x^2+4 x-5 e (c, d) o ponto de interseção entre as retas y=x+2 e y=-x+4
b) (4 pontos) Calcule
integrala^b integralc^d(4 x y+6 sen(x)+9 e^y) d x d y Dica: xV=-b2 a e yv=-De

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla sobre uma região definida por algumas coordenadas específicas. Primeiro, vamos entender que temos uma parábola dada pela equação e duas retas e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice da parábola e o ponto onde essas retas se intersectam. Com essas informações, vamos configurar os limites da integral dupla e, por fim, calcular o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola xv = -b2a . Para isso, usamos a fórmula do vértice:
xv = -42 times 1 = -2
Aqui, yv = -De e De. Então:
yv = -364 times 1 = -9
Agora, para encontrar a coordenada do vértice, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o discriminante :
Então,
Portanto, as coordenadas do vértice são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das retas x + 2 = -x + 4 e 2x = 2 Rightarrow x = 1 . Para isso, igualamos as duas equações:
y = 1 + 2 = 3
Resolvendo para :
Substituindo em uma das equações para encontrar :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Com as coordenadas encontradas, podemos definir os limites da nossa integral dupla. A integral é dada por:
Substituindo os valores:
  • integrala^b integralc^d (4xy + 6 sen(x) + 9 e^y) dx , dy (coordenada integral-9^-2 integral1^3 (4xy + 6 sen(x) + 9 e^y) dx , dy do vértice)
  • (coordenada do vértice)
  • (coordenada do ponto de interseção)
  • (coordenada do ponto de interseção)
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^3 (4xy + 6 sen(x) + 9 e^y) dx :
Vamos integrar termo por termo:
  1. Integral de integral 4xy , dx = 4y integral x , dx = 4y ( x^22 ) = 2y x^2 em relação a integral 6 sen(x) , dx = 6 integral sen(x) , dx = 6 (-cos(x)) = -6 cos(x) :
integral 9 e^y , dx = 9 e^y integral dx = 9 e^y x
  1. Integral de em relação a 2y x^2 - 6 cos(x) + 9 e^y x :
  1. Integral de [2y (3)^2 - 6 cos(3) + 9 e^y (3)] - [2y (1)^2 - 6 cos(1) + 9 e^y (1)] em relação a 2y (9 - 1) - 6 (cos(3) - cos(1)) + 9 e^y (3 - 1) :
Como 2y (8) - 6 (cos(3) - cos(1)) + 9 e^y (2) é constante em relação a 16y - 6 cos(3) + 6 cos(1) + 18 e^y :
Agora, somando tudo:
Avaliado de a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral-9^-2 (16y - 6 cos(3) + 6 cos(1) + 18 e^y) dy de integral 16y , dy = 16 cdot y^22 = 8 y^2 a integral -6 cos(3) , dy = -6 cos(3) y :
integral 6 cos(1) , dy = 6 cos(1) y
Vamos integrar termo por termo:
  1. Integral de integral 18 e^y , dy = 18 e^y em relação a 8 y^2 - 6 cos(3) y + 6 cos(1) y + 18 e^y :
[8 (-2)^2 - 6 cos(3) (-2) + 6 cos(1) (-2) + 18 e^-2] - [8 (-9)^2 - 6 cos(3) (-9) + 6 cos(1) (-9) + 18 e^-9]
  1. Integral de [32 + 12 cos(3) - 12 cos(1) + 18 e^-2] - [648 + 54 cos(3) - 54 cos(1) + 18 e^-9] em relação a = 32 + 12 cos(3) - 12 cos(1) + 18 e^-2 - 648 - 54 cos(3) + 54 cos(1) - 18 e^-9 :
Como = -616 - 42 cos(3) + 42 cos(1) + 18 e^-2 - 18 e^-9 e são constantes:
  1. Integral de em relação a :
Agora, somando tudo:
Avaliado de a :
Simplificando:

Resposta

Após realizar os cálculos, o valor da integral dupla é:
-616 - 42 cos(3) + 42 cos(1) + 18 e^-2 - 18 e^-9

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