Seja (
) as coordenadas do vértice da parábola
e
o ponto de interseção entre as retas
b) (4 pontos) Calcule
b) (4 pontos) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla sobre uma região definida por algumas coordenadas específicas. Primeiro, vamos entender que temos uma parábola dada pela equação
e duas retas
e
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice da parábola e o ponto onde essas retas se intersectam. Com essas informações, vamos configurar os limites da integral dupla e, por fim, calcular o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola
. Para isso, usamos a fórmula do vértice:
Aqui,
e
. Então:
Agora, para encontrar a coordenada
do vértice, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o discriminante
:
Então,
Portanto, as coordenadas do vértice são
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das retas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Substituindo
em uma das equações para encontrar
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Com as coordenadas encontradas, podemos definir os limites da nossa integral dupla. A integral é dada por:
Substituindo os valores:
-
(coordenada do vértice) -
(coordenada do vértice) -
(coordenada do ponto de interseção) -
(coordenada do ponto de interseção)
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Vamos integrar termo por termo:
- Integral de
em relação a :
- Integral de em relação a
:
- Integral de
em relação a :
Como
é constante em relação a
:
Agora, somando tudo:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
de
a
:
Vamos integrar termo por termo:
- Integral de
em relação a :
- Integral de
em relação a :
Como
e
são constantes:
- Integral de
em relação a :
Agora, somando tudo:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Resposta
Após realizar os cálculos, o valor da integral dupla é: