Use a transformação u=x-y, v=x+y para calcular \iint_{-} T(x+2 y) d A, onde T é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2). Determine o Jacobiano e os limites em ( u, v ).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{T}(x+2y)\,dA
onde T é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,2), usando a mudança de variável
u = x - y,\qquad v = x + y.
O conteúdo necessário é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos (i) inverter a transformação para achar x(u,v) e y(u,v), (ii) calcular o Jacobiano, (iii) descrever a região em (u,v) e (iv) reescrever a integral.

Passo 2

Invertendo a transformação, somamos e subtraímos:
v = x+y,\quad u = x-y
\begin{cases} x = \displaystyle\frac{u+v}{2},\\[6pt] y = \displaystyle\frac{v-u}{2}. \end{cases}]

Passo 3

Calculamos o Jacobiano
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\[4pt] -\frac12 & \frac12 \end{pmatrix} = \frac12\cdot\frac12 - \bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot\tfrac12 = \frac14 + \frac14 = \frac12.]

Passo 4

Mapeamos os vértices de T para o plano (u,v):
(0,0)\mapsto (u,v)=(0,0),\quad (2,0)\mapsto (2,2),\quad (0,2)\mapsto (-2,2).
Esses três pontos formam um triângulo em (u,v) com a “base” de u=-v a u=+v quando v varia de 0 a 2. Logo os limites são
0\le v\le 2, \qquad -\,v\le u\le v.

Passo 5

Expressamos o integrando em (u,v):
x+2y = \frac{u+v}{2} + 2\cdot\frac{v-u}{2} = \frac{u+v +2v -2u}{2} = \frac{-\,u+3v}{2}.
A diferencial de área vira \bigl|J\bigr|\,du\,dv = \tfrac12\,du\,dv.

Passo 6

Montamos a integral em (u,v):
\iint_{T}(x+2y)\,dA = \int_{v=0}^{2}\int_{u=-v}^{v} \frac{-u+3v}{2}\;\frac12\,du\,dv = \frac{1}{4}\int_{0}^{2}\int_{-v}^{v}(-u+3v)\,du\,dv.
Calculando a integral interna:
\int_{-v}^{v}(-u+3v)\,du = \Bigl[-\tfrac{u^2}{2}+3v\,u\Bigr]_{-v}^{v} =6v^2.
Logo
\iint_{T}(x+2y)\,dA = \frac{1}{4}\int_{0}^{2}6v^2\,dv = \frac{6}{4}\,\frac{v^3}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3} =4.

Resposta

Jacobiano: \displaystyle J=\tfrac12.
Limites em (u,v):
0\le v\le 2,\qquad -v\le u\le v.
Valor da integral: 4.

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