Use a transformação u=x-y, v=x+y para calcular \iint_{-} T(x+2 y) d A, onde T é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2). Determine o Jacobiano e os limites em ( u, v ).
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{T}(x+2y)\,dA
onde T é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,2), usando a mudança de variável
u = x - y,\qquad v = x + y.
O conteúdo necessário é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos (i) inverter a transformação para achar x(u,v) e y(u,v), (ii) calcular o Jacobiano, (iii) descrever a região em (u,v) e (iv) reescrever a integral.
Passo 2
Invertendo a transformação, somamos e subtraímos:
v = x+y,\quad u = x-y
\begin{cases} x = \displaystyle\frac{u+v}{2},\\[6pt] y = \displaystyle\frac{v-u}{2}. \end{cases}]