Calcule a integral de linha
se
é qualquer caminho em
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha no espaço tridimensional, ou seja, em
. A integral envolve um campo vetorial complicado, e queremos encontrar o valor dessa integral ao longo de qualquer caminho que vai do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma soma acumulada ao longo de um caminho específico no espaço, ponderada por um campo vetorial. No nosso caso, o campo vetorial $ \mathbf{F} $ é dado por:
Queremos calcular:
onde $ C $ é qualquer caminho de $ A(0,1,2) $ a $ B(4,0,1) $.
Passo 3
Antes de começar a integrar, vamos verificar se o campo $ \mathbf{F} $ é conservativo. Isso facilita muito as coisas porque, se for, a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido. Um campo é conservativo se podemos encontrar uma função potencial $ f(x,y,z) $ tal que:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos encontrar a função potencial $ f(x,y,z) $. Começamos integrando a primeira equação em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y,z) $ é uma função que pode depender de $ y $ e $ z $, já que estamos integrando em relação a $ x $.
Passo 5
Agora, derivamos $ f(x,y,z) $ em relação a $ y $ e igualamos à segunda componente de $ \mathbf{F} $:
Comparando, vemos que $ \frac{\partial g}{\partial y} = 0 $. Isso significa que $ g $ não depende de $ y $.
Passo 6
Em seguida, derivamos $ f(x,y,z) $ em relação a $ z $ e igualamos à terceira componente de $ \mathbf{F} $:
Isso nos dá:
Integrando em relação a $ z $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos $ g(z) $ de volta na expressão para $ f(x,y,z) $:
Como a constante $ C $ se cancela na diferença que vamos calcular, podemos ignorá-la.
Passo 8
Finalmente, para calcular a integral de linha, basta avaliar a função potencial nos pontos finais e subtrair:
Calculando $ f(B) $ com $ B(4,0,1) $:
Calculando $ f(A) $ com $ A(0,1,2) $:
Resposta
A integral de linha vale
.