Calcule a integral de linha integralC(y^2 e^x y+z) d x+(e^x y+x y e^x y) d y+(x+3 z^2) d z se C é qualquer caminho em R^3 do ponto A(0,1,2) ao ponto B(4,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. A integral envolve um campo vetorial complicado, e queremos encontrar o valor dessa integral ao longo de qualquer caminho que vai do ponto A(0,1,2) até o ponto B(4,0,1). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma soma acumulada ao longo de um caminho específico no espaço, ponderada por um campo vetorial. No nosso caso, o campo vetorial $ \mathbf{F} $ é dado por:
F
Queremos calcular:
F(x,y,z) = ( y^2 e^x y + z, e^x y + x y e^x y, x + 3 z^2 )
onde $ C $ é qualquer caminho de $ A(0,1,2) $ a $ B(4,0,1) $.

Passo 3

Antes de começar a integrar, vamos verificar se o campo $ \mathbf{F} $ é conservativo. Isso facilita muito as coisas porque, se for, a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido. Um campo é conservativo se podemos encontrar uma função potencial $ f(x,y,z) $ tal que:
F
Isso significa que:
f(x,y,z)
F = nabla f
partial fpartial x = y^2 e^x y + z

Passo 4

Vamos encontrar a função potencial $ f(x,y,z) $. Começamos integrando a primeira equação em relação a $ x $:
f(x,y,z)
Aqui, $ g(y,z) $ é uma função que pode depender de $ y $ e $ z $, já que estamos integrando em relação a $ x $.

Passo 5

Agora, derivamos $ f(x,y,z) $ em relação a $ y $ e igualamos à segunda componente de $ \mathbf{F} $:
f(x,y,z)
Comparando, vemos que $ \frac{\partial g}{\partial y} = 0 $. Isso significa que $ g $ não depende de $ y $.

Passo 6

Em seguida, derivamos $ f(x,y,z) $ em relação a $ z $ e igualamos à terceira componente de $ \mathbf{F} $:
f(x,y,z)
Isso nos dá:
z
Integrando em relação a $ z $:
F
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos $ g(z) $ de volta na expressão para $ f(x,y,z) $:
g(z)
Como a constante $ C $ se cancela na diferença que vamos calcular, podemos ignorá-la.

Passo 8

Finalmente, para calcular a integral de linha, basta avaliar a função potencial nos pontos finais e subtrair:
integralC F cdot dr = f(B) - f(A)
Calculando $ f(B) $ com $ B(4,0,1) $:
f(B)
Calculando $ f(A) $ com $ A(0,1,2) $:
B(4,0,1)

Resposta

A integral de linha vale -4.

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