Questão 4. Encontre a assíntota oblíqua de:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}
e pede a assíntota oblíqua, ou seja, uma reta da forma y=ax+b que “se aproxime” de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Por definição, se existe assíntota oblíqua y=ax+b, então
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0.
Os coeficientes a e b podem ser obtidos por
a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-a\,x\bigr].

Passo 3

Calculemos primeiro
a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^{2}+1}{x}}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}+1}{x^{2}} =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =1.
Em seguida
b=\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl[f(x)-1\cdot x\Bigr] =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(\frac{x^{2}+1}{x}-x\Bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}+1 - x^{2}}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x} =0.

Resposta

A assíntota oblíqua de f(x) é
y = x.

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