[
] Seja
a curva dada pela interseção das superfícies
e
de forma que sua projeção no plano
está orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é a interseção das superfícies
e
e informa que a projeção de
no plano
está orientada no sentido anti-horário. Pede-se calcular a integral de linha fechada
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O campo vetorial cuja integral de linha queremos é
com - A curva
é fechada (interseção de duas superfícies) e sua projeção no plano é orientada no sentido anti-horário. - Não foi dada uma parametrização de
; portanto, escolheremos um método apropriado para evitar parametrizar diretamente a curva.
Passo 2
Escolha do método: como a integral é fechada em
e a curva é a fronteira de uma região plana (a interseção com o plano
), a estratégia mais prática é aplicar o Teorema de Stokes.
Breve lembrete do Teorema de Stokes (explicando o que cada símbolo significa): se é uma superfície orientada com fronteira
e
é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas, então
Breve lembrete do Teorema de Stokes (explicando o que cada símbolo significa): se
onde
é o rotacional de
,
é um vetor normal à superfície com orientação compatível com a orientação de
(regra da mão direita), e
é o elemento de área em
.
Vou escolher como a região plana do plano
limitada por
(ou seja, o disco inclinado cuja fronteira é a curva de interseção). Essa escolha é conveniente porque permite projetar a superfície no plano
e transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre uma região circular no plano
.
Vou escolher
Passo 3
Calcular o rotacional
. Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
Agora calculo as derivadas parciais (explicando cada termo):
-
porque não depende de . -
pois não depende de .
Portanto a primeira componente é. -
(não depende de ). -
(R não depende de ).
Portanto a segunda componente é. -
. -
.
Portanto a terceira componente é.
Concluindo,
Passo 4
Escolher a orientação de
(normal) e escrever
em termos de uma integral dupla no plano
.
A superfície
pode ser vista como gráfico da função
sobre a região
no plano
que é a projeção de
. Para uma superfície dada por
, um vetor de área orientado que corresponde à normal com componente
positiva é
onde
é o elemento de área no plano
. Aqui temos
e
, então
Observação sobre orientação: a componente
de
é
, então esse
aponta “para cima” (positivo em
). Pela regra da mão direita, a orientação da fronteira
induzida por esse
é exatamente a orientação anti-horária da projeção no plano
. Como o enunciado diz que a projeção está orientada anti-horariamente, esta escolha de
está consistente com a orientação pedida.
Aplicando Stokes:
Substituindo
e
:
Logo a integral de linha reduz-se a
Passo 5
Determinar a região
no plano
. A curva de interseção satisfaz
e
, então
Reorganizando e completando quadrados:
Portanto
é o disco no plano
centrado em
com raio
.
Passo 6
Calcular a integral dupla
Para facilitar a conta, faço a mudança de variáveis que centra o disco na origem: defino
Então
transforma-se no disco
e
. Em termos de
,
Logo
Passo 7
Avaliar a integral usando simetria e área do disco:
- A integral de
sobre o disco simétrico é zero porque é ímpar em e o domínio é simétrico em relação ao eixo : - A integral da constante
é vezes a área do disco. A área do disco de raio é
Portanto
Agora volto para a integral original:
Passo 8
Conclusão e interpretação: aplicando o Teorema de Stokes e calculando o rotacional e a integral sobre a região projetada obtivemos