Considere as curvas
e
definidas por:
Determine:
(a) O comprimento de
no intervalo
.
(b) O comprimento de
no intervalo
.
© O comprimento de
no intervalo
.
(d) As reparametrizações pelo comprimento de arco relativamente a
de
para
.
(e) Uma equação da reta tangente ao traço de cada uma das curvas no ponto correspondente a
.
(a) O comprimento de
(b) O comprimento de
© O comprimento de
(d) As reparametrizações pelo comprimento de arco relativamente a
(e) Uma equação da reta tangente ao traço de cada uma das curvas no ponto correspondente a
Passo 1
O enunciado apresenta três curvas em \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2 e pede: comprimento em certos intervalos, reparametrização pelo comprimento de arco (t_0=0) e reta tangente em t=0. Vamos usar: velocida de uma curva \gamma é \|\gamma’(t)\|, comprimento \displaystyle
\int_{t_1}^{t_2}\|\gamma’(t)\|\, reparametrização s(t)=\int_0^t\|\gamma’(u)\|\, e reta tangente \mathbf{r}(h)=\gamma(t_0)+h\gamma’(t_0).
\int_{t_1}^{t_2}\|\gamma’(t)\|\, reparametrização s(t)=\int_0^t\|\gamma’(u)\|\, e reta tangente \mathbf{r}(h)=\gamma(t_0)+h\gamma’(t_0).
Passo 2
Calcular \gamma_1’(t)=(2,3\cos t,-3\sin t) e a velocidade \|\gamma_1’(t)\|=\sqrt{2^2+(3\cos t)^2+(-3\sin t)2}=\sqrt{4+9(\cos2 t+\sin^2 t)}=\sqrt{13}. Logo o comprimento em [a,b] é $$ L_1=\int_a^b\sqrt{13}\,dt=\sqrt{13}\,(b-a).$$
Passo 3
Calcular \gamma_2’(t)=(et,et\sin t+e^t\cos t,e^t\cos t-e^t\sin t). Então
$\|\gamma_2’(t)\|=\sqrt{e^{2t}[1+(\sin t+\cos t)^2+(\cos t-\sin t)2]}=\sqrt{3e{2t}}=\sqrt{3}e^t$. Assim
$\|\gamma_2’(t)\|=\sqrt{e^{2t}[1+(\sin t+\cos t)^2+(\cos t-\sin t)2]}=\sqrt{3e{2t}}=\sqrt{3}e^t$. Assim
$$ L_2=\int_0{2\pi}\sqrt{3}et\,dt=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1).$$
Passo 4
Calcular \gamma_3’(t)=(3t2+1,6t2+2). A velocidade é
$
Então
$$ L_3=\int_{-1}1\sqrt{5}(3t2+1)\,dt=\sqrt{5}[t3+t]_{-1}1=4\sqrt{5}.$$
Então
$$ L_3=\int_{-1}1\sqrt{5}(3t2+1)\,dt=\sqrt{5}[t3+t]_{-1}1=4\sqrt{5}.$$
Passo 5
A reparametrização s_i(t)=\int_0^t\|\gamma_i’(u)\|\, invertendo para t=t_i(s):
- Para \gamma_1: s=\sqrt{13}t \Rightarrow t=s/\sqrt{13}, \alpha_1(s)=(2s/\sqrt{13},3\sin(s/\sqrt{13}),3\cos(s/\sqrt{13})).
- Para \gamma_2: s=\sqrt{3}(e^t-1) \Rightarrow t=\ln(1+s/\sqrt{3}), \alpha_2(s)=\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}},(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\sin\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}),(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\cos\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\bigr).
- Para \gamma_3: s=\sqrt{5}(t^3+t) \Rightarrow t=\phi(s) onde \phi^3+\phi=s/\sqrt{5}, \alpha_3(s)=\bigl(\phi(s)3+\phi(s),2\phi(s)3+2\phi(s)+1\bigr).
Passo 6
Os pontos e derivadas em t=0 e as retas:
- \gamma_1(0)=(0,0,3), \gamma_1’(0)=(2,3,0). Reta: \mathbf{r}_1(h)=(0,0,3)+h(2,3,0).
- \gamma_2(0)=(1,0,1), \gamma_2’(0)=(1,1,1). Reta: \mathbf{r}_2(h)=(1,0,1)+h(1,1,1).
- \gamma_3(0)=(0,1), \gamma_3’(0)=(1,2). Reta: \mathbf{r}_3(h)=(0,1)+h(1,2).
Resposta
(a)\; L_1=\sqrt{13},(b-a). \(b)\; L_2=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1). \©\; L_3=4\sqrt{5}. \(d)\; \alpha_1(s)=(2s/\sqrt{13},3\sin(s/\sqrt{13}),3\cos(s/\sqrt{13})), \alpha_2(s)=(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}},(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\sin\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}),(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\cos\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})), \alpha_3(s)=(\phi(s)3+\phi(s),2\phi(s)3+2\phi(s)+1)\ onde \phi^3+\phi=s/\sqrt{5}. \(e)\; Reta_1: \mathbf{r}_1(h)=(0,0,3)+h(2,3,0), Reta_2: \mathbf{r}_2(h)=(1,0,1)+h(1,1,1), Reta_3: \mathbf{r}_3(h)=(0,1)+h(1,2).