Seja alpha:] a, b[ R^2 uma curva regular de classe C^1. Mostre que se para c in] a, b[, alpha(c) é um ponto da curva de abcissa máxima ou mínima então a tangente à curva nesse ponto é vertical.

Passo 1

Temos uma curva alpha:]a,b[toR^2 de classe C^1, ou seja, podemos escrever alpha(t)=(x(t),y(t)) com x e y diferenciais e alpha'(t)=(x'(t),y'(t))neq(0,0) para todo t.

Passo 2

Suponha que em t=c a abscissa x(c) atinja um máximo ou mínimo relativo no intervalo ]a,b[. Então, pela condição necessária de extremum (Teorema de Fermat) para a função x(t), temos
x'(c)=0

Passo 3

Como a curva é regular, alpha'(c)neq(0,0). Com x'(c)=0, isso força y'(c)neq0.

Passo 4

O vetor tangente à curva em t=c é alpha'(c)=(0,y'(c)), que é um vetor vertical. Logo, a reta tangente em alpha(c) é vertical.

Resposta

A reta tangente em alpha(c) é vertical.

Exercícios relacionados