Seja
uma curva regular de classe
. Mostre que se para
é um ponto da curva de abcissa máxima ou mínima então a tangente à curva nesse ponto é vertical.
Passo 1
Temos uma curva
de classe
, ou seja, podemos escrever
com
e
diferenciais e
para todo
.
Passo 2
Suponha que em
a abscissa
atinja um máximo ou mínimo relativo no intervalo
. Então, pela condição necessária de extremum (Teorema de Fermat) para a função
, temos
Passo 3
Como a curva é regular,
. Com
, isso força
.
Passo 4
O vetor tangente à curva em
é
, que é um vetor vertical. Logo, a reta tangente em
é vertical.
Resposta
A reta tangente em
é vertical.