(2,0 pts.) Seja
a superfície do paraboloide
acima do plano
. Calcule a integral de superfície
Passo 1
O enunciado define a superfície
do paraboloide
limitado acima pelo plano
, ou seja, projetado no disco
. Precisamos calcular a integral de superfície
O conteúdo é integral de superfície de função escalar, para a qual usaremos a fórmula
e, depois, coordenadas polares em
.
Passo 2
Vamos simplificar o integrando:
Logo a função a integrar sobre
é constante igual a
.
Passo 3
O elemento de área da superfície é
então
A integral sobre
vira
onde
.
Passo 4
Em coordenadas polares
, temos
e
. Assim
Passo 5
Calculemos
Fazendo
, temos
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Então
Logo
Passo 6
Voltando à integral original,