(2,0 pts.) Seja S a superfície do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} acima do plano z=0. Calcule a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) d S

Passo 1

O enunciado define a superfície S do paraboloide
z = 4 - x^2 - y^2
limitado acima pelo plano z=0, ou seja, projetado no disco D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 4\}. Precisamos calcular a integral de superfície
\iint_{S} \bigl(x^2 + y^2 + z\bigr)\,dS.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar, para a qual usaremos a fórmula
dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dA
e, depois, coordenadas polares em D.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando:
x^2 + y^2 + z \;=\; x^2 + y^2 + (4 - x^2 - y^2) \;=\; 4.
Logo a função a integrar sobre S é constante igual a 4.

Passo 3

O elemento de área da superfície é
dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dA \quad\text{com}\quad z_x = -2x,\; z_y = -2y,
então
dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\,dA.
A integral sobre S vira
\iint_{S}4\,dS \;=\; 4 \iint_{D} \sqrt{1 + 4(x^2+y^2)}\,dA,
onde D\colon x^2+y^2\le4.

Passo 4

Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), temos x^2+y^2=r^2 e dA = r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{D} \sqrt{1 + 4r^2}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{2} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 5

Calculemos
I = \int_{0}^{2} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.
Fazendo u = 1 + 4r^2, temos du = 8r\,dr, logo r\,dr = \tfrac{du}{8}. Quando r=0, u=1; quando r=2, u=17. Então
I = \int_{u=1}^{17} \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\,\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{17} = \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).
Logo
\iint_{D} \sqrt{1+4r^2}\,dA = 2\pi\,I = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Passo 6

Voltando à integral original,
\iint_{S} (x^2+y^2+z)\,dS = 4 \times \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) = \frac{2\pi}{3}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Resposta

\frac{2\pi}{3}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr)

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