Seja
um domínio de integridade e
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dados:
é um domínio de integridade e . - Pedido: mostrar que
Informações relevantes que devemos usar:
não tem divisores de zero;
e
são polinômios com coeficientes em
. Deixo registrado que precisamos tratar o caso em que algum polinômio seja o polinômio zero (pois o grau do zero é uma convenção especial).
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados com calma).
-
Domínio de integridade: é um anel comutativo com elemento unidade
e sem divisores de zero. “Sem divisores de zero” significa: se e , então ou . Isso será crucial para garantir que o coeficiente principal do produto não zere por cancelação acidental. -
Grau (ou
) de um polinômio não nulo: se
com
, então
. O coeficiente
chama-se coeficiente líder ou termo de maior grau.
- Polinômio zero: por convenção costuma-se definir
(ou deixar explícito que a fórmula de grau vale quando os dois polinômios são não nulos). Vou tratar os dois casos: (i) quando algum é zero; (ii) quando ambos são não nulos.
Passo 3
Caso fácil: se
ou
.
- Se
então . Pelo costume . Assim,
Como
e
é algo finito ou
, a soma
segue a convenção que dá
. Logo a igualdade desejada se mantém sob a convenção. (Se preferir trabalhar só com polinômios não nulos, a próxima parte trata desse caso.)
Passo 4
Agora considere os polinômios não nulos: escreva-os na forma explícita mostrando o termo de maior grau.
Se
e
, existirá
e coeficientes
tais que
Pelo que definimos,
e
.
Passo 5
Calcule o produto
e identifique o termo de maior grau.
Ao multiplicar
por
usando distributividade, cada termo
de
multiplica cada termo
de
, produzindo termos
. O maior expoente que surge entre todos esses produtos é
, que só pode ser obtido pela multiplicação do termo de maior grau de
pelo termo de maior grau de
, ou seja, pelo produto
. Todos os outros pares
com
,
e
produzem expoentes
e estritamente menores se
.
Portanto, o termo de maior grau em
é um termo de coeficiente
associado a
, a não ser que esse coeficiente zere.
Passo 6
Use a propriedade “sem divisores de zero” do domínio
para garantir que o coeficiente líder do produto não zera.
Temos
e
por definição dos graus de
e
. Como
é um domínio de integridade, não há divisores de zero, logo
Então o coeficiente do termo
em
é não nulo. Isso prova que o grau do produto é exatamente
, porque não há termo de grau maior e o coeficiente do grau
não some.
Passo 7
Conclua a igualdade pedida, explicando o porquê é válida e como aplicar isso na prova.
Juntando os passos anteriores, para
e
não nulos com
e
, o produto
tem grau
. Logo
Se algum dos polinômios for o zero, usamos a convenção
e a identidade também se mantém (ou simplesmente observamos que
e a igualdade é a forma óbvia nessa convenção).
Dica para a prova: represente os polinômios pelos termos líder mais os termos de grau menor, observe que o único modo de obter expoente
é multiplicando os líderes, e então use que produto de coeficientes líderes é não nulo porque
não tem divisores de zero.