Seja D um domínio de integridade e f(x), g(x) \in D[x]. Mostre que:
\operatorname{gr}(f \cdot g)=\operatorname{gr} f+\operatorname{gr} g

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados: D é um domínio de integridade e f(x),\,g(x)\in D[x].
  • Pedido: mostrar que
\operatorname{gr}(f\cdot g)=\operatorname{gr} f+\operatorname{gr} g.
Informações relevantes que devemos usar: D não tem divisores de zero; f e g são polinômios com coeficientes em D. Deixo registrado que precisamos tratar o caso em que algum polinômio seja o polinômio zero (pois o grau do zero é uma convenção especial).

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados com calma).
  • Domínio de integridade: é um anel comutativo com elemento unidade 1\neq0 e sem divisores de zero. “Sem divisores de zero” significa: se a,b\in D e a\cdot b=0, então a=0 ou b=0. Isso será crucial para garantir que o coeficiente principal do produto não zere por cancelação acidental.
  • Grau (ou \operatorname{gr}) de um polinômio não nulo: se
f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0
com a_n\neq 0, então \operatorname{gr} f = n. O coeficiente a_n chama-se coeficiente líder ou termo de maior grau.
  • Polinômio zero: por convenção costuma-se definir \operatorname{gr}(0)=-\infty (ou deixar explícito que a fórmula de grau vale quando os dois polinômios são não nulos). Vou tratar os dois casos: (i) quando algum é zero; (ii) quando ambos são não nulos.

Passo 3

Caso fácil: se f=0 ou g=0.
  • Se f=0 então f\cdot g=0. Pelo costume \operatorname{gr}(0)=-\infty. Assim,
\operatorname{gr}(f\cdot g)=\operatorname{gr}(0)=-\infty.
Como \operatorname{gr} f=-\infty e \operatorname{gr} g é algo finito ou -\infty, a soma \operatorname{gr} f+\operatorname{gr} g segue a convenção que dá -\infty. Logo a igualdade desejada se mantém sob a convenção. (Se preferir trabalhar só com polinômios não nulos, a próxima parte trata desse caso.)

Passo 4

Agora considere os polinômios não nulos: escreva-os na forma explícita mostrando o termo de maior grau.
Se f\neq 0 e g\neq 0, existirá n,m\in\mathbb{N} e coeficientes a_n,b_m\in D tais que
f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0,\qquad a_n\neq 0,
g(x)=b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0,\qquad b_m\neq 0.
Pelo que definimos, \operatorname{gr} f = n e \operatorname{gr} g = m.

Passo 5

Calcule o produto f(x)\cdot g(x) e identifique o termo de maior grau.
Ao multiplicar f por g usando distributividade, cada termo a_i x^i de f multiplica cada termo b_j x^j de g, produzindo termos a_i b_j x^{i+j}. O maior expoente que surge entre todos esses produtos é n+m, que só pode ser obtido pela multiplicação do termo de maior grau de f pelo termo de maior grau de g, ou seja, pelo produto a_n b_m x^{n+m}. Todos os outros pares (i,j) com i\le n, j\le m e (i,j)\neq(n,m) produzem expoentes i+j\le n+m e estritamente menores se (i,j)\neq(n,m).
Portanto, o termo de maior grau em f\cdot g é um termo de coeficiente a_n b_m associado a x^{n+m}, a não ser que esse coeficiente zere.

Passo 6

Use a propriedade “sem divisores de zero” do domínio D para garantir que o coeficiente líder do produto não zera.
Temos a_n\neq 0 e b_m\neq 0 por definição dos graus de f e g. Como D é um domínio de integridade, não há divisores de zero, logo
a_n b_m \neq 0.
Então o coeficiente do termo x^{n+m} em f\cdot g é não nulo. Isso prova que o grau do produto é exatamente n+m, porque não há termo de grau maior e o coeficiente do grau n+m não some.

Passo 7

Conclua a igualdade pedida, explicando o porquê é válida e como aplicar isso na prova.
Juntando os passos anteriores, para f e g não nulos com \operatorname{gr} f = n e \operatorname{gr} g = m, o produto f\cdot g tem grau n+m. Logo
\operatorname{gr}(f\cdot g)=n+m=\operatorname{gr} f + \operatorname{gr} g.
Se algum dos polinômios for o zero, usamos a convenção \operatorname{gr}(0)=-\infty e a identidade também se mantém (ou simplesmente observamos que f\cdot g=0 e a igualdade é a forma óbvia nessa convenção).
Dica para a prova: represente os polinômios pelos termos líder mais os termos de grau menor, observe que o único modo de obter expoente n+m é multiplicando os líderes, e então use que produto de coeficientes líderes é não nulo porque D não tem divisores de zero.

Resposta

\operatorname{gr}(f\cdot g)=\operatorname{gr} f+\operatorname{gr} g

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