O que se pede: determinar o grau \deg(f\cdot g) do produto dessas duas polinômios em \mathbb{Z}_{6}[x].
Passo 2
Vamos lembrar conceitos importantes (sou seu parceiro aqui, vou explicar devagar): o grau de um polinômio é o maior expoente de x cuja coeficiente é diferente de \overline{0} no anel dos coeficientes. Em anéis que são domínios integrais (sem divisores de zero), vale a igualdade
\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.
Mas em \mathbb{Z}_{6} isso pode falhar porque \mathbb{Z}_{6} tem divisores de zero: por exemplo
Portanto ao multiplicar polinômios em \mathbb{Z}_{6}[x] o coeficiente líder do produto pode virar \overline{0} e o grau pode cair. Então a estratégia prática é multiplicar termo a termo e reduzir os coeficientes módulo 6, e então identificar o maior expoente com coeficiente não nulo.
Passo 3
Vamos multiplicar f(x) por g(x) termo a termo (vou mostrar cada produto e reduzir módulo 6):
O coeficiente do termo x^{5} é \overline{0}, então ele não conta para o grau. O maior expoente com coeficiente diferente de \overline{0} é 3, porque o coeficiente de x^{3} é \overline{4} e \overline{4}\neq\overline{0} em \mathbb{Z}_{6}.
Passo 5
Portanto o grau do produto é 3. Observação final: isso mostra exatamente por que em anéis com divisores de zero pode ocorrer \deg(fg)<\deg f+\deg g — aqui o produto dos coeficientes líderes \overline{2}\cdot\overline{3} virou \overline{0}.