Sejam f(x)=\overline{2} x^{3}+\overline{1} \in \mathbb{Z}_{6}[x] e g(x)=\overline{3} x^{2}+\overline{5} \in \mathbb{Z}_{6}[x]. Determine o grau g r(f \cdot g).

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede uma coisa. O que foi dado:
f(x)=\overline{2}\,x^{3}+\overline{1}\in\mathbb{Z}_{6}[x]
g(x)=\overline{3}\,x^{2}+\overline{5}\in\mathbb{Z}_{6}[x]
O que se pede: determinar o grau \deg(f\cdot g) do produto dessas duas polinômios em \mathbb{Z}_{6}[x].

Passo 2

Vamos lembrar conceitos importantes (sou seu parceiro aqui, vou explicar devagar): o grau de um polinômio é o maior expoente de x cuja coeficiente é diferente de \overline{0} no anel dos coeficientes. Em anéis que são domínios integrais (sem divisores de zero), vale a igualdade
\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.
Mas em \mathbb{Z}_{6} isso pode falhar porque \mathbb{Z}_{6} tem divisores de zero: por exemplo
\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{0}.
Portanto ao multiplicar polinômios em \mathbb{Z}_{6}[x] o coeficiente líder do produto pode virar \overline{0} e o grau pode cair. Então a estratégia prática é multiplicar termo a termo e reduzir os coeficientes módulo 6, e então identificar o maior expoente com coeficiente não nulo.

Passo 3

Vamos multiplicar f(x) por g(x) termo a termo (vou mostrar cada produto e reduzir módulo 6):
Produto dos termos de maior grau:
(\overline{2}x^{3})\cdot(\overline{3}x^{2})=(\overline{2}\cdot\overline{3})x^{5}=\overline{6}\,x^{5}=\overline{0}\,x^{5}.
Ou seja, o termo em x^{5} some porque \overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{6}.
Agora os outros produtos:
(\overline{2}x^{3})\cdot(\overline{5})=(\overline{2}\cdot\overline{5})x^{3}=\overline{10}\,x^{3}=\overline{4}\,x^{3},
pois 10\equiv 4\pmod{6}.
(\overline{1})\cdot(\overline{3}x^{2})=(\overline{1}\cdot\overline{3})x^{2}=\overline{3}\,x^{2}.
(\overline{1})\cdot(\overline{5})=\overline{5}.

Passo 4

Somando todos os termos obtidos, o produto é
f(x)\cdot g(x)=\overline{0}\,x^{5}+\overline{4}\,x^{3}+\overline{3}\,x^{2}+\overline{5}.
O coeficiente do termo x^{5} é \overline{0}, então ele não conta para o grau. O maior expoente com coeficiente diferente de \overline{0} é 3, porque o coeficiente de x^{3} é \overline{4} e \overline{4}\neq\overline{0} em \mathbb{Z}_{6}.

Passo 5

Portanto o grau do produto é 3. Observação final: isso mostra exatamente por que em anéis com divisores de zero pode ocorrer \deg(fg)<\deg f+\deg g — aqui o produto dos coeficientes líderes \overline{2}\cdot\overline{3} virou \overline{0}.

Resposta

3

Exercícios relacionados