Calcule as integrais:
If=integral 2+cotg[ln (x)]x sen^2[ln (x)] d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
If = integral 2 + cot[ln(x)]x,sin^2[ln(x)],dx
O conteúdo principal envolve mudança de variável do tipo u=ln(x) e integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = ln(x), du = dxx,
temos
If = integral 2 + cot(u)sin^2(u),du

Passo 3

Escrevemos o integrando como soma de termos mais simples:
2 + cot(u)sin^2(u) = 2,csc^2(u) + cot(u)sin^2(u) = 2,csc^2(u) + cos(u)sin^3(u)

Passo 4

Para integral 2,csc^2(u),du usamos
ddul[cot(u)r] = -csc^2(u),
logo
integral 2,csc^2(u),du = -2,cot(u)
Para integral cos(u)sin^3(u),du fazemos v=sin(u), dv=cos(u),du, obtendo
integral cos(u)sin^3(u),du = integral v^-3,dv = -12v^-2 = -12sin^2(u)

Passo 5

Somando os resultados e voltando a x, chega-se a
If = -2,cot(ln(x)) - 12,sin^2(ln(x)) + C

Resposta

If = -2,cot(ln(x)) ;-;tfrac12,csc^2(ln(x)) ;+; C

Exercícios relacionados