Seja D o paralelogramo limitado por y=2 x, y=2 x-2, y= x e y=x+1.
Calcular a mesma integral fazendo a mudança de variável x=u-v, y=2 u-v interpretando geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um paralelogramo definido pelas retas $ \mathrm{y}=2\mathrm{x} $, $ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-2 $, $ \mathrm{y}=\mathrm{x} $ e $ \mathrm{y}=\mathrm{x}+1 $. Nosso objetivo é calcular uma integral sobre essa região usando uma mudança de variável, onde $ \mathrm{x}=u-v $ e $ \mathrm{y}=2u-v $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, integração múltipla e mudança de variáveis, incluindo o cálculo do determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região $ D $ definida pelas retas dadas. Essas quatro retas formam um paralelogramo no plano $ xy $. Para visualizar melhor, podemos esboçar essas retas:
  • $ \mathrm{y}=2\mathrm{x} $ e $ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-2 $: São paralelas, com inclinação 2, e estão separadas por uma distância.
  • $ \mathrm{y}=\mathrm{x} $ e $ \mathrm{y}=\mathrm{x}+1 $: Também são paralelas, com inclinação 1, e igualmente separadas.
O paralelogramo $ D $ é a interseção dessas regiões.

Passo 3

Agora, vamos fazer a mudança de variável proposta: $ \mathrm{x}=u-v $ e $ \mathrm{y}=2u-v $. Isso significa que estamos transformando as coordenadas $ (u, v) $ para $ (x, y) $. Para calcular a integral nessa nova variável, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação.

Passo 4

O determinante jacobiano $ J $ é dado por:
J
Calculando as derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = -1
Então,
partial ypartial u = 2, partial ypartial v = -1

Passo 5

Com o jacobiano calculado, vamos agora expressar as retas que delimitam $ D $ em termos de $ u $ e $ v $. Substituindo $ \mathrm{x}=u-v $ e $ \mathrm{y}=2u-v $ nas equações das retas:
  1. Para $ \mathrm{y}=2\mathrm{x} $:
D
  1. Para $ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-2 $:
u
  1. Para $ \mathrm{y}=\mathrm{x} $:
v
  1. Para $ \mathrm{y}=\mathrm{x}+1 $:
x=u-v

Passo 6

Agora, identificamos que no sistema $ (u, v) $, a região transformada $ D’ $ é limitada por $ v=0 $, $ v=-2 $, $ u=0 $ e $ u=1 $. Isso forma um retângulo simples no plano $ uv $, facilitando a integração.

Passo 7

Com a mudança de variável, a integral original sobre $ D $ se transforma em uma integral dupla sobre $ D’ $:
D
Como $ J = 1 $, a integral fica:
D'

Passo 8

Finalmente, definimos os limites de integração para $ u $ e $ v $. Como $ u $ varia de 0 a 1 e $ v $ varia de -2 a 0, a integral fica:
u

Resposta

A integral sobre o paralelogramo $ D $ após a mudança de variável fica:
D

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