Seja
o paralelogramo limitado por
x e
.
Calcular a mesma integral fazendo a mudança de variável
interpretando geometricamente.
Calcular a mesma integral fazendo a mudança de variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um paralelogramo definido pelas retas $ \mathrm{y}=2\mathrm{x} $, $ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-2 $, $ \mathrm{y}=\mathrm{x} $ e $ \mathrm{y}=\mathrm{x}+1 $. Nosso objetivo é calcular uma integral sobre essa região usando uma mudança de variável, onde $ \mathrm{x}=u-v $ e $ \mathrm{y}=2u-v $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, integração múltipla e mudança de variáveis, incluindo o cálculo do determinante jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região $ D $ definida pelas retas dadas. Essas quatro retas formam um paralelogramo no plano $ xy $. Para visualizar melhor, podemos esboçar essas retas:
- $ \mathrm{y}=2\mathrm{x} $ e $ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-2 $: São paralelas, com inclinação 2, e estão separadas por uma distância.
- $ \mathrm{y}=\mathrm{x} $ e $ \mathrm{y}=\mathrm{x}+1 $: Também são paralelas, com inclinação 1, e igualmente separadas.
O paralelogramo $ D $ é a interseção dessas regiões.
Passo 3
Agora, vamos fazer a mudança de variável proposta: $ \mathrm{x}=u-v $ e $ \mathrm{y}=2u-v $. Isso significa que estamos transformando as coordenadas $ (u, v) $ para $ (x, y) $. Para calcular a integral nessa nova variável, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação.
Passo 4
O determinante jacobiano $ J $ é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Com o jacobiano calculado, vamos agora expressar as retas que delimitam $ D $ em termos de $ u $ e $ v $. Substituindo $ \mathrm{x}=u-v $ e $ \mathrm{y}=2u-v $ nas equações das retas:
- Para $ \mathrm{y}=2\mathrm{x} $:
- Para $ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-2 $:
- Para $ \mathrm{y}=\mathrm{x} $:
- Para $ \mathrm{y}=\mathrm{x}+1 $:
Passo 6
Agora, identificamos que no sistema $ (u, v) $, a região transformada $ D’ $ é limitada por $ v=0 $, $ v=-2 $, $ u=0 $ e $ u=1 $. Isso forma um retângulo simples no plano $ uv $, facilitando a integração.
Passo 7
Com a mudança de variável, a integral original sobre $ D $ se transforma em uma integral dupla sobre $ D’ $:
Como $ J = 1 $, a integral fica:
Passo 8
Finalmente, definimos os limites de integração para $ u $ e $ v $. Como $ u $ varia de 0 a 1 e $ v $ varia de -2 a 0, a integral fica:
Resposta
A integral sobre o paralelogramo $ D $ após a mudança de variável fica: