Seja
a região plana limitada pelos eixos positivos x e y e a reta
. Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região D, que é limitada pelos eixos positivos x e y e pela reta
. O que isso significa é que vamos somar os valores de
em todos os pontos dentro dessa área D. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as regras de cálculo de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região D para entender melhor os limites de integração. A região é limitada pelos eixos positivos, ou seja,
e
, e pela reta
. Vamos encontrar os pontos onde essa reta intercepta os eixos:
- Quando
: - Quando
:
Então, a reta cruza o eixo y no ponto (0, 2.5) e o eixo x no ponto (3.333, 0).
Passo 3
Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos expressar
em função de
a partir da equação da reta:
Então, para cada valor de
entre 0 e 2.5,
varia de 0 até
.
Passo 4
Com isso, podemos montar a integral dupla:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
E:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 2.5:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 8
Primeiro, resolvemos
. Vamos usar a substituição
, então
ou
:
Avaliado de 0 a 2.5:
Então, a primeira parte é:
Passo 9
Agora, resolvemos
:
Primeiro, distribuímos:
Avaliado de 0 a 2.5:
Então, a segunda parte é:
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, o valor da integral dupla é aproximadamente 12.056.