Seja D a região plana limitada pelos eixos positivos x e y e a reta 3 x+4 y=10. Calcular integral duplaD(x^2+y^2) d xdy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região D, que é limitada pelos eixos positivos x e y e pela reta 3x + 4y = 10. O que isso significa é que vamos somar os valores de x^2 + y^2 em todos os pontos dentro dessa área D. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as regras de cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região D para entender melhor os limites de integração. A região é limitada pelos eixos positivos, ou seja, x >= 0 e y >= 0, e pela reta 3x + 4y = 10. Vamos encontrar os pontos onde essa reta intercepta os eixos:
  • Quando x = 0: 4y = 10 Rightarrow y = 104 = 2.5
  • Quando y = 0: 3x = 10 Rightarrow x = 103 approx 3.333
Então, a reta cruza o eixo y no ponto (0, 2.5) e o eixo x no ponto (3.333, 0).

Passo 3

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Para isso, precisamos expressar x em função de y a partir da equação da reta:
3x + 4y = 10 Rightarrow x = 10 - 4y3
Então, para cada valor de y entre 0 e 2.5, x varia de 0 até 10 - 4y3.

Passo 4

Com isso, podemos montar a integral dupla:
integral duplaD (x^2 + y^2) , dx, dy = integraly=0^2.5 integralx=0^10 - 4y3 (x^2 + y^2) , dx, dy

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a x. A integral de x^2 + y^2 em relação a x é:
integral0^10 - 4y3 (x^2 + y^2) , dx = [ x^33 + y^2x ]0^10 - 4y3 = (10 - 4y3)^33 + y^2 (10 - 4y3)

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
(10 - 4y3)^33 = (10 - 4y)^33 cdot 27 = (10 - 4y)^381
E:
y^2 (10 - 4y3) = y^2 (10 - 4y)3
Então, a integral fica:
(10 - 4y)^381 + y^2 (10 - 4y)3

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de 0 a 2.5:
integral0^2.5 ( (10 - 4y)^381 + y^2 (10 - 4y)3 ) dy
Vamos separar em duas integrais:
181 integral0^2.5 (10 - 4y)^3 , dy + 13 integral0^2.5 y^2 (10 - 4y) , dy

Passo 8

Primeiro, resolvemos integral (10 - 4y)^3 , dy. Vamos usar a substituição u = 10 - 4y, então du = -4 dy ou dy = -du4:
integral (10 - 4y)^3 , dy = -14 integral u^3 , du = -14 cdot u^44 + C = -(10 - 4y)^416 + C
Avaliado de 0 a 2.5:
-(10 - 4 cdot 2.5)^416 + 10^416 = -0^416 + 1000016 = 1000016 = 625
Então, a primeira parte é:
181 cdot 625 = 62581 approx 7.716

Passo 9

Agora, resolvemos integral y^2 (10 - 4y) , dy:
Primeiro, distribuímos:
integral (10y^2 - 4y^3) , dy = 10 integral y^2 , dy - 4 integral y^3 , dy = 10 cdot y^33 - 4 cdot y^44 = 10y^33 - y^4
Avaliado de 0 a 2.5:
10 cdot (2.5)^33 - (2.5)^4 = 10 cdot 15.6253 - 39.0625 = 156.253 - 39.0625 approx 52.083 - 39.0625 = 13.0208
Então, a segunda parte é:
13 cdot 13.0208 approx 4.3403

Resposta

Somando as duas partes:
7.716 + 4.3403 approx 12.056
Portanto, o valor da integral dupla é aproximadamente 12.056.

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