Uma toxina é introduzida em uma colônia de bactérias, t horas mais tarde, a população é dada pela equação
. Determine:
O que acontece com a população ao longo prazo (ou seja, para
)?
O que acontece com a população ao longo prazo (ou seja, para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a população de bactérias ao longo do tempo, depois que uma toxina foi introduzida. A equação dada é:
Aqui, $ N(t) $ representa a população de bactérias após $ t $ horas. O que precisamos descobrir é o comportamento dessa população quando o tempo $ t $ tende para o infinito, ou seja, o que acontece com a população a longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação passo a passo. Temos três partes principais:
- Constante inicial: 10.000
- Termo linear: $ (8 + t) $
- Termo exponencial: $ e^{-0,1 \cdot t} $
Nosso objetivo é entender como cada uma dessas partes se comporta quando $ t $ fica muito grande (tende para $ +\infty $).
Passo 3
Vamos começar pelo termo exponencial $ e^{-0,1 \cdot t} $. Sabemos que a função exponencial com um expoente negativo tende a zero à medida que $ t $ aumenta. Ou seja:
Isso significa que, com o tempo, esse termo vai se aproximar de zero.
Passo 4
Agora, vejamos o termo linear $ (8 + t) $. À medida que $ t $ aumenta, esse termo também aumenta sem limites, pois é uma função linear crescente. Então:
Portanto, esse termo cresce indefinidamente com o tempo.
Passo 5
Agora, combinamos os dois termos anteriores na equação completa:
Temos um produto de um termo que cresce sem limites ($ 8 + t
e^{-0,1 \cdot t} $). Para entender o comportamento do produto, precisamos analisar qual desses termos “ganha” na competição.
Passo 6
A função exponencial decresce para zero mais rapidamente do que a função linear cresce para $ +\infty $. Isso significa que, mesmo que $ (8 + t) $ aumente sem limites, o fator $ e^{-0,1 \cdot t} $ diminui tão rapidamente que o produto total tende a zero.
Matematicamente:
Resposta
Portanto, a população de bactérias tende a zero a longo prazo. Ou seja, quando $ t $ se aproxima de $ +\infty $, $ N(t) $ também tende a zero.