4- Seja D a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
.
Expresse o volume de D como uma integral tripla em:
a) Coordenadas cilíndricas
b) Coordenadas esféricas
c) Calcule o volume, necessariamente, em coordenadas esféricas
Expresse o volume de D como uma integral tripla em:
a) Coordenadas cilíndricas
b) Coordenadas esféricas
c) Calcule o volume, necessariamente, em coordenadas esféricas
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
no primeiro octante limitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais triplas: em coordenadas cilíndricas e esféricas, usando os elementos de volume adequados.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e
No primeiro octante
. A superfície inferior é o cone
e a superior é a esfera
. A projeção no plano
satisfaz
Logo
Passo 3
Em coordenadas esféricas usamos
com
O primeiro octante impõe
. O cone
vira
⇒
. A esfera é
. Como queremos acima do cone,
, e
. Assim
Passo 4
Calculemos em esféricas por separação de fatores:
Multiplicando,
Resposta
(a)
(b)
(c)