4- Seja D a região no 1^{\circ} octante delimitada abaixo pelo cone \mathrm{z}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e acima pela esfera \rho=3.
Expresse o volume de D como uma integral tripla em:
a) Coordenadas cilíndricas
b) Coordenadas esféricas
c) Calcule o volume, necessariamente, em coordenadas esféricas

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D no primeiro octante limitada abaixo pelo cone z = \sqrt{x^2 + y^2} e acima pela esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 9\quad(\rho=3).
O conteúdo envolve mudança de variáveis em inte­grais triplas: em coordenadas cilíndricas e esféricas, usando os elementos de volume adequados.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
No primeiro octante \theta\in[0,\pi/2]. A superfície inferior é o cone z = r e a superior é a esfera z = \sqrt{9 - r^2}. A projeção no plano xy satisfaz
r = \sqrt{9 - r^2}\quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{9}{2}\quad\Longrightarrow\quad r\in\Bigl[0,\frac{3}{\sqrt2}\Bigr].
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V = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3/\sqrt2}\int_{z=r}^{\sqrt{9-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
com
dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O primeiro octante impõe \theta\in[0,\pi/2]. O cone z=r vira \rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \varphi=\pi/4. A esfera é \rho=3. Como queremos acima do cone, \varphi\in[0,\pi/4], e \rho\in[0,3]. Assim
V = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{\varphi=0}^{\pi/4} \int_{\rho=0}^{3} \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculemos em esféricas por separação de fatores:
\int_{\theta=0}^{\pi/2}d\theta = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_{\varphi=0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi = \Bigl[-\cos\varphi\Bigr]_{0}^{\pi/4} = 1 - \frac{\sqrt2}{2},
\int_{\rho=0}^{3}\rho^2\,d\rho = \frac{3^3}{3} = 9.
Multiplicando,
V = \frac{\pi}{2}\,\Bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)\,9 = \frac{9\pi}{2}\Bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) = \frac{9\pi(2-\sqrt2)}{4}.

Resposta

(a)
V = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3/\sqrt2}\int_{z=r}^{\sqrt{9-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
(b)
V = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{\varphi=0}^{\pi/4} \int_{\rho=0}^{3} \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
(c)
V = \frac{9\pi(2-\sqrt2)}{4}.

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