(UF-PI) Considere as seguintes afirmativas sobre a medição de ângulos.
I. As bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares.
II. O suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso.
III. Se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida, então esse ângulo é reto.
a) Apenas I e II são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) As três afirmativas são verdadeiras.
e) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para analisar três afirmativas sobre ângulos e decidir quais são verdadeiras. Para isso precisamos lembrar que o suplemento de um ângulo \alpha é o ângulo que somado a \alpha 180^\circ, e que a bissetriz de um ângulo divide esse ângulo ao meio.

Passo 2

Provar a afirmativa I: “As bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares.”
Seja \alpha o ângulo original e 180^\circ-\alpha o seu suplemento. A bissetriz de \alpha forma \tfrac{\alpha}{2} em relação a um dos lados, e a bissetriz do suplemento forma \tfrac{180^\circ-\alpha}{2} em relação ao lado oposto. A soma desses dois ângulos é
\tfrac{\alpha}{2} + \tfrac{180^\circ-\alpha}{2} = \tfrac{\alpha + 180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ,
logo as bissetrizes são perpendiculares. Portanto, I é verdadeira.

Passo 3

Provar a afirmativa II: “O suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso.”
Se \alpha é agudo, temos 0^\circ<\alpha<90^\circ. Então o suplemento é
180^\circ - \alpha>180^\circ - 90^\circ=90^\circ,
o que qualifica como ângulo obtuso. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Provar a afirmativa III: “Se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida, então esse ângulo é reto.”
Se \alpha e seu suplemento 180^\circ-\alpha são iguais, então
\alpha = 180^\circ - \alpha \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 90^\circ,
ou seja, é um ângulo reto. Assim, III é verdadeira.

Resposta

d) As três afirmativas são verdadeiras.

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