Uma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. As duas placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm , e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidades de 0,9 \mathrm{~N} . \mathrm{s}^{2} \mathrm{~m}^{2}. A placa fina tem um comprimento de 2 m e uma largura de 0,5 \mathrm{~m}. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas estacionárias ( \mathrm{h}_{1}=\mathrm{h}_{2}=2 \mathrm{~cm} ).
a) (1,25 Pontos) Qual é a força requerida para manter o movimento?
b) (1,25 Pontos) Qual seria essa força se \mathrm{h}_{2}=1 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{h}_{1}=3 \mathrm{~cm} ?

Passo 1

O enunciado descreve uma placa fina de comprimento L=2\mathrm{\,m} e largura b=0{,}5\mathrm{\,m} que se move a V=5\mathrm{\,m/s} no plano médio entre duas placas estacionárias separadas por h_1 em cima e h_2 embaixo. O espaço é preenchido por óleo de viscosidade dinâmica \mu=0{,}9\mathrm{\,N\cdot s/m^2}. Queremos a força F necessária para manter o movimento, usando o escoamento laminar de Couette, em que a tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{d u}{d y}\approx \mu\,\frac{V}{h}.

Passo 2

Em regime estacionário e perfil linear, a força de atrito na face superior é
F_1 = \tau_1\;A = \mu\,\frac{V}{h_1}\;A,
e na face inferior
F_2 = \tau_2\;A = \mu\,\frac{V}{h_2}\;A,
onde a área de contato é
A = L\cdot b = 2\mathrm{\,m}\times 0{,}5\mathrm{\,m} = 1\mathrm{\,m^2}.
Como ambas agem no sentido oposto ao movimento, a força total é
F = F_1 + F_2 = \mu\,V\,A\Bigl(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}\Bigr).

Passo 3

Para o caso (a), temos h_1=h_2=2\mathrm{\,cm}=0{,}02\mathrm{\,m}. Logo
F = 0{,}9\cdot 5\cdot 1\;\bigl(\tfrac{1}{0{,}02}+\tfrac{1}{0{,}02}\bigr) =4{,}5\;\bigl(50+50\bigr) =4{,}5\times100 =450\mathrm{\,N}.

Passo 4

Para o caso (b), h_1=3\mathrm{\,cm}=0{,}03\mathrm{\,m} e h_2=1\mathrm{\,cm}=0{,}01\mathrm{\,m}. Assim
F = 0{,}9\cdot 5\cdot 1\;\bigl(\tfrac{1}{0{,}03}+\tfrac{1}{0{,}01}\bigr) =4{,}5\;\bigl(33{,}33+100\bigr) =4{,}5\times133{,}33 \approx600\mathrm{\,N}.

Resposta

(a) 450\mathrm{\,N}.
(b) 600\mathrm{\,N}.

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