Desenhe a região D do plano x y dada em coordenadas polares por 0 \leq r \leq 1,0 \leq \theta \leq \pi / 4 e calcule a integral dupla \iint_{D}(x+y+1) d A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenhar a região D do plano x y dada em coordenadas polares por 0 \leq r \leq 1,\;0 \leq \theta \leq \pi/4 e calcular a integral dupla \iint_{D}(x+y+1)\,dA.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A região D está descrita em coordenadas polares por r variando de 0 até 1 e \theta variando de 0 até \pi/4.\n
  • A função a integrar é x+y+1 e a integral é sobre a área dA da região D.\n

Passo 2

Desenho e descrição da região D (explicação para você conseguir rabiscar na prova):\n
  • Em coordenadas polares, a condição 0 \leq r \leq 1 significa que estamos dentro do círculo de raio 1 centrado na origem (inclui o centro).\n
  • A condição 0 \leq \theta \leq \pi/4 significa que estamos entre o raio que aponta para o ângulo 0 (eixo x positivo) e o raio que aponta para \theta=\pi/4 (linha que faz 45^\circ com o eixo x, ou seja a reta y=x no primeiro quadrante).\n
    Portanto D é um setor circular de raio 1 correspondente ao “pedaço de pizza” entre o eixo x positivo e a reta y=x, do centro até a circunferência de raio 1. Na prova, desenhe a origem, o arco de raio 1 entre 0 e \pi/4 e as duas semi-retas radiais em 0 e \pi/4.

Passo 3

Troca para coordenadas polares e formulando a integral.\n
Lembre que em coordenadas polares as relações entre (x,y) e (r,\theta) são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
E o elemento de área ao mudar para polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno incremento dr na direção radial e um pequeno incremento d\theta angular formam um pequeno “retângulo curvo” cuja lados têm comprimentos aproximados dr e r\,d\theta, logo a área aproximada é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Isso é fundamental para integrar em polares.\n
Substituindo x, y e dA na integral, obtemos a integral iterada em polares:
\iint_{D}(x+y+1)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{1} \big(r\cos\theta + r\sin\theta + 1\big)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Simplificação do integrando antes de integrar em r.\n
Multiplicando pelo fator r do elemento de área:
\big(r\cos\theta + r\sin\theta + 1\big)\,r = r^2(\cos\theta + \sin\theta) + r.
Então a integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \big(r^2(\cos\theta + \sin\theta) + r\big)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integração em r (primeiro passo concreto de cálculo).\n
Vamos integrar termo a termo em r de 0 a 1. Use as primitivas básicas: \int r^2\,dr=\tfrac{r^3}{3} e \int r\,dr=\tfrac{r^2}{2}.\n
Portanto,
\int_{0}^{1} \big(r^2(\cos\theta + \sin\theta) + r\big)\,dr = (\cos\theta + \sin\theta)\int_{0}^{1} r^2\,dr + \int_{0}^{1} r\,dr
= (\cos\theta + \sin\theta)\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{2}.

Passo 6

Integração em \theta (finalizando as integrais).\n
Agora integramos em \theta de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\left(\frac{1}{3}(\cos\theta + \sin\theta) + \frac{1}{2}\right)\,d\theta = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/4}(\cos\theta + \sin\theta)\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}1\,d\theta.
Calcule as integrais separadamente:\n
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi/4} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-0 = \frac{\sqrt{2}}{2}.\n
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\sin\theta\,d\theta = -\cos\theta\Big|_{0}^{\pi/4} = -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}.\n
    Somando os dois resultados:
\int_{0}^{\pi/4}(\cos\theta + \sin\theta)\,d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1.
E
\int_{0}^{\pi/4}1\,d\theta = \frac{\pi}{4}.
Substituindo:
\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.\n
Pronto — a integral dá um resultado simples e bonito: \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi}{8}. Dá para checar dimensionalmente: a região tem área \frac{\pi}{8} (área do setor de raio 1 e ângulo \pi/4 é \tfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{8}), e a parte constante +1 na integranda contribui com exatamente \tfrac{\pi}{8}, enquanto as partes lineares em x e y deram o \tfrac{1}{3} após integrar — legal de ver.\n
Você mandou bem chegando até aqui; repassa os passos fundamentais que sempre caem em provas: converter x,y para r\cos\theta,r\sin\theta, lembrar do fator r em dA e integrar primeiro em r quando os limites em r são simples.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{\pi}{8}

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