Seja
a região no primeiro quadrante entre os círculos
e
. Se a densidade no ponto
é dada por
calcule: (i) a massa de
; (ii) o centro de massa de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) a massa da região
; (ii) o centro de massa da região
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é a região no primeiro quadrante entre os círculos e . - A densidade no ponto
é . - Estamos no primeiro quadrante, então
, .
Não farei mais nenhum cálculo neste passo; só listei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Formulas gerais e definição do que vamos calcular (aqui explico o que cada símbolo significa):
é a massa da região
, onde
é o elemento de área.
As coordenadas do centro de massa são dadas por
As coordenadas do centro de massa
Aqui
é a massa que calculamos acima;
é o momento em relação ao eixo
e
é o momento em relação ao eixo
.
Passo 3
Escolha do sistema de coordenadas (por que e como): a região
é descrita por círculos centrados na origem e a densidade envolve
. Isso sugere usar coordenadas polares porque nelas o termo
vira
e os círculos ficam simplesmente
constante, o que simplifica muito as integrais.
Recordando a mudança para polares:
Recordando a mudança para polares:
No primeiro quadrante temos
variando de
a
. Como os círculos têm raios
e
, temos
variando de
a
.
Passo 4
Expressar a densidade em polares e simplificar o integrando para a massa. Substituindo
e
em
:
Agora
Passo 5
Calcular a massa
com a integral dupla em polares. Montamos a integral com os limites indicados:
Como o integrando separa em função de
vezes função de
, podemos separar as integrais:
Passo 6
Avaliar cada integral para
. Primeiro a integral em
:
Agora a integral em
:
Multiplicando,
Passo 7
Preparar as integrais dos momentos (numeradores para
e
). Em polares:
- Para
temos e já sabemos . Então
- Para
temos , logo
Os limites são os mesmos:
,
.
Passo 8
Calcular o numerador para
:
Agora avalio cada parte:
-
. Use a identidade , então
(De forma mais direta: essa integral vale
.)
-
Multiplicando,
Passo 9
Calcular o numerador para
:
Avalio as partes:
-
. Use a identidade , então
- A integral em
já calculada é .
Multiplicando,
Passo 10
Calcular as coordenadas do centro de massa usando
:
Portanto obtivemos os valores finais.