Seja D a região no primeiro quadrante entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4. Se a densidade no ponto (x, y) \in D é dada por
\rho(x, y)=\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
calcule: (i) a massa de D; (ii) o centro de massa de D.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) a massa da região D; (ii) o centro de massa da região D.\n
Informações dadas:
  • D é a região no primeiro quadrante entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
  • A densidade no ponto (x,y)\in D é \rho(x,y)=\dfrac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.
  • Estamos no primeiro quadrante, então x\ge 0, y\ge 0.
    Não farei mais nenhum cálculo neste passo; só listei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Formulas gerais e definição do que vamos calcular (aqui explico o que cada símbolo significa):
m=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA
é a massa da região D, onde dA é o elemento de área.
As coordenadas do centro de massa (\bar{x},\bar{y}) são dadas por
\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Aqui m é a massa que calculamos acima; \iint_{D} x\rho\,dA é o momento em relação ao eixo y e \iint_{D} y\rho\,dA é o momento em relação ao eixo x.

Passo 3

Escolha do sistema de coordenadas (por que e como): a região D é descrita por círculos centrados na origem e a densidade envolve x^{2}+y^{2}. Isso sugere usar coordenadas polares porque nelas o termo x^{2}+y^{2} vira r^{2} e os círculos ficam simplesmente r= constante, o que simplifica muito as integrais.
Recordando a mudança para polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
No primeiro quadrante temos \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Como os círculos têm raios 1 e 2, temos r variando de 1 a 2.

Passo 4

Expressar a densidade em polares e simplificar o integrando para a massa. Substituindo x e y em \rho:
\rho(x,y)=\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{r\sin\theta}{(r^{2})^{2}}=\frac{r\sin\theta}{r^{4}}=\frac{\sin\theta}{r^{3}}.
Agora \rho\,dA=\dfrac{\sin\theta}{r^{3}}\cdot r\,dr\,d\theta=\dfrac{\sin\theta}{r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a massa m com a integral dupla em polares. Montamos a integral com os limites indicados:
m=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2}\frac{\sin\theta}{r^{2}}\,dr\,d\theta.
Como o integrando separa em função de \theta vezes função de r, podemos separar as integrais:
m=\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{1}^{2}\frac{1}{r^{2}}\,dr\right).

Passo 6

Avaliar cada integral para m. Primeiro a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}= -\cos\frac{\pi}{2}+ \cos 0 = 0+1=1.
Agora a integral em r:
\int_{1}^{2} r^{-2}\,dr = \bigl[-\tfrac{1}{r}\bigr]_{1}^{2} = -\tfrac{1}{2} -(-1)=\tfrac{1}{2}.
Multiplicando,
m = 1\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Preparar as integrais dos momentos (numeradores para \bar{x} e \bar{y}). Em polares:
  • Para \iint_{D} x\,\rho\,dA temos x=r\cos\theta e já sabemos \rho\,dA=\dfrac{\sin\theta}{r^{2}}\,dr\,d\theta. Então
x\rho\,dA = r\cos\theta\cdot \frac{\sin\theta}{r^{2}}\,dr\,d\theta = \frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\,dr\,d\theta.
  • Para \iint_{D} y\,\rho\,dA temos y=r\sin\theta, logo
y\rho\,dA = r\sin\theta\cdot \frac{\sin\theta}{r^{2}}\,dr\,d\theta = \frac{\sin^{2}\theta}{r}\,dr\,d\theta.
Os limites são os mesmos: \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], r\in[1,2].

Passo 8

Calcular o numerador para \bar{x}:
\iint_{D} x\rho\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2}\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{1}^{2}\frac{1}{r}\,dr\right).
Agora avalio cada parte:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta. Use a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\bigr]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2}.
(De forma mais direta: essa integral vale 1/2.)
  • \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{1}{r}\,dr = \bigl[\ln r\bigr]_{1}^{2} = \ln 2.
    Multiplicando,
\iint_{D} x\rho\,dA = \tfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 9

Calcular o numerador para \bar{y}:
\iint_{D} y\rho\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2}\frac{\sin^{2}\theta}{r}\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{1}^{2}\frac{1}{r}\,dr\right).
Avalio as partes:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta. Use a identidade \sin^{2}\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}, então
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}1-\cos 2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\Bigl[\theta - \tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{4}.
  • A integral em r já calculada é \ln 2.
    Multiplicando,
\iint_{D} y\rho\,dA = \tfrac{\pi}{4}\ln 2.

Passo 10

Calcular as coordenadas do centro de massa usando m=\tfrac{1}{2}:
\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\rho\,dA = \frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot \tfrac{1}{2}\ln 2 = \ln 2.
\bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\rho\,dA = \frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot \tfrac{\pi}{4}\ln 2 = \tfrac{\pi}{2}\ln 2.
Portanto obtivemos os valores finais.

Resposta

m=\tfrac{1}{2}
\bar{x}=\ln 2,\qquad \bar{y}=\dfrac{\pi}{2}\ln 2

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